Линеарна функција — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м r2.7.3) (Робот: промењено th:ฟังก์ชันเส้นตรง у th:ฟังก์ชันเชิงเส้น |
Нема описа измене |
||
Ред 71:
[[uk:Лінійна функція]]
[[zh:線性函數]]
LINEARNA FUNKCIJA I NJEN GRAFIK
Neka su dati skupovi A i B. Ako svaki elemenat x∈A odgovara tačno jedan elemenat
y∈B, kažemo da se skup A preslikava u skup B. Takvo preslikavanje nazivamo
funkcijom. Zapisujemo:
f : ili ) A→ B y = f(x
Domen Kodomen
Najpoznatiji oblik linearne funkcije je: y = kx+n (eksplicitni)
Grafik ove funkcije je prava.
K- je koeficijenat pravca, odnosno k =tgα gde je α - ugao koji prava gradi sa
pozitivnim smerom x-ose, n- je odsečak na y-osi
Pošto je prava odredjena sa dve svoje tačke, grafik ucrtamo tako što u malu tablicu
uzmemo 2 proizvoljne vrednosti za x, pa izračunamo y ili još bolje, x = 0 i 0 y = , pa
nadjemo nepoznate: 2 y = 2x+ Za
Zaz za x=0
y = 2⋅0+2 = 2
1
2 2 0
= −
+ =
x
x
y = 02
PAZI: Ako je funkcija samo y = kx (bez n) onda grafik prolazi kroz kordinatni početak
i moramo uzimati dve različite vrednosti za x.
Primer:
y = −2x x = 0 pa je y = 0
x = 1 pa je y = -2
Kako nacrtati grafike x = 2 ili ? y = −3
Važno je zapamtiti:
→ 0 y = je x-osa
→ x = 0 je y-osa
→ x = a , grafik je paralelan sa y-osom i prolazi kroz a
→ y =b , grafik je paralelan sa x-osom i prolazi kroz b3
Dakle:
x = 2 3 y = −
Nula Funkcije: je mesto gde grafik seče x-osu a dobija se kad stavimo 0 y = pa
izračunamo koliko je x. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= −
k
n
x Funkcija može biti rastuća ili opadajuća. Ako je k>0
funkcija je rastuća i sa pozitivnim smerom x-ose gradi oštar ugao, a ako je k<0 funkcija
je opadajuća i sa pozitivnim smerom x-ose gradi tup ugao.
Znak funkcije:
Funkcija je pozitivna za y>0 tj. kx+n > 0 i grafik je iznad x-ose.
Funkcija je negativna za y<0 tj. kx+n < 0 i grafik je ispod x-ose 4
Rastuća Opadajuća
y = 0 za
n
k
x = − y = 0 za
n
k
x = −
y > 0 za ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈ − ,∞
n
k
x y > 0 za ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈ −∞ −
n
k
x ,
0 y < za ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈ −∞ −
n
k
x , 0 y < za ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈ − ,∞
n
k
x
Ako se u zadatku kaže da grafik prolazi kroz neku tačku ) ( ,
0 0
x y onda koordinate te
tačke smemo da zamenimo umesto x i y u datoj jednačini y = kx+n
Dakle: y
0
= kx0
+n
Dva grafika 1 1
y = kx +n i 2 2
y = kx +n će biti paralelna ako je 1 2
k = k , a normalna ako
je 1 k
1
⋅k
2
= − .
Dakle: - uslov paralelnosti je 1 2
k = k
- uslov normalnosti je 1 k
1
⋅k
2
= −
Da nas ne zbuni: Prava može biti zadata i u drugim oblicima:
ax+by+c = 0 ili + =1
y
b
x
a
Mi ovde izrazimo y (ipsilon) i ‘’pročitamo’’ k i n : 5
b
c
x
b
a
y
by ax c
ax by c
= − −
= − −
+ + = 0
pa je: ,
b
a
k = −
b
c
n = −
______________________
x b
a
b
y
ay bx ab a
bx ay ab
ab
b
y
a
x
= − +
= − +
+ =
+ = ⋅
/:
1/
pa je: ,
b
a
k = − n = b
1) Proučiti promene i grafički prikaži funkcije:
a) 1
2
1
y = x− b) 4 y = −2x+
_________________________________________________
a) 1
2
1
y = x− za x = 0 ⇒ y = 0−1= −1
za 0 y = ⇒ 1 0
2
1
x− = ⇒ x = 2
1. Oblast definisanosti: x∈R
2. Nula finkcija: x = 2
3. Znak: 0 y > za ) x∈(2,∞
0 y < za ) x∈(−∞,2
4. Monotonost: Funkcija je rastuća jer je 0
2
1
k = >6
b) y = −2x+4 za x = 0 ⇒ 4 y = 0+4 =
za 0 y = ⇒ −2x+4 = 0 ⇒ x = 2
1. Oblast definisanosti: x∈R
2. Nula funkcije: x = 2
3. Znak: y > 0 za x∈(−∞,2)
y < 0 za x∈(2,∞)
4.Monotonost: funkcija je opadajuća jer k = −2 < 0
5) U skupu finkcija y=(a-4)x-(3a-10). (a realan parametar), odrediti parametar a tako da
tačka M(1,2) pripada grafiku funkcije. Za nadjenu vrednost parametra a ispitati funkciju i
skicirati njen grafik.
M(1,2) tačka pripada grafiku pa njene koordinate
Stavljamo umesto x i y. x =1 i 2 y =
2
2 4
2 6 2
2 2 6
2 4 3 10
2 ( 4) 1 (3 10)
( 4) (3 10)
=
=
= −
= − +
= − − +
= − ⋅ − −
= − − −
a
a
a
a
a a
a a
y a x a
2 4
2 ( 4)
(2 4) (3 2 10)
= − +
= − − −
= − − ⋅ −
y x
y x
y x y = −2x+47
6) U skupu funkcija 3 f(x) = (a−2)x−2a+ , odrediti parameter a tako da grafik funkcije
odseca na y-osi odsečak dužine 5.
3 f(x) = (a−2)x−2a+
y = kx+n
Pošto je n -odsečak na y-osi, a ovde je n = −2a+3, to mora biti:
1
2 2
2 5 3
2 3 5
= −
− =
− = −
− + =
a
a
a
a
7) Date su familije funkcija y = (2m−5)x+7 i y = (10−m)x−3 Za koje su vrednosti
parametra m grafici ovih funkcija paralelni?
y = (2m−5)x+7 ⇒ k = 2m−5
3 y = (10−m)x− ⇒ k =10−m
uslov paralelnosti je da imaju iste k. Dakle:
5
3
15
3 15
2 10 5
2 5 10
=
=
=
+ = +
− = −
m
m
m
m m
m m
8) Nacrtati grafik funkcije
y = x −1
Najpre definišemo apsolutnu vrednost:
⎩
⎨
⎧
− <
≥
=
, 0
, 0
x x
x x
x
Dakle,treba nacrtati dva grafika 8
y = x −1
1 y = x− 1 y = −x −
za x ≥ 0 za x < 0
Kako grafik važi samo za x ≥ 0 njegov deo (isprekidano) za x < 0 nam ne
treba. Kako grafik 1 y = −x − važi za x < 0 i njegov isprekidani deo nam ne treba.
9) Dat je skup funkcija y=(4m)x-(3m-2), (m realan broj)
a) Odrediti m tako da funkcija ima nula x=2
b) Za nadjenu vrednost m ispitati promene i konstruisati grafik funkcije.
y=(4m-6)x-(3m-2)
a) x = 2 za 0 y = ⇒
2
5 10 0
8 12 3 2 0
(4 6) 2 (3 2) 0
=
− =
− − + =
− ⋅ − − =
m
m
m m
m m
y = −x −1 y = x−1
y = x−19
2 4
(4 2 6) (3 2 2)
= −
= ⋅ − − ⋅ −
y x
y x
10) Dat je skup funkcija ), y = (k −2)x−(k −1 gde je k realan parameter. Odrediti
parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa grafikom funkcije
y = 2x−6. Za dobijenu vrednost k, ispisati funkciju i konstruisati njen grafik.
2 6
( 2) ( 1)
= −
= − − −
y x
y k x k
4
2 2
=
− =
k
k
2 3
(4 2) (4 1)
= −
= − − −
y x
| |||