Хиперболичка геометрија — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м navodnici |
Нема описа измене |
||
Ред 35:
У апсолутној геометрији важи [[пет ставова о подударности троуглова]]. У хиперболичкој геометрији важи, поред тих пет, још један, такозвани шести став према подударности који карактрише хиперболички простор. Он гласи: ''Два троугла су подударна ако и само ако су им одговарајући углови међусобно подударни подударни.'' Последица овог шестог става је: у хиперболичкој геометрији ''свака сличност је подударност''.
== Паралелност и хиперпаралелност ==
У равни Лобачевског постоји бесконачно много правих које садрже тачку ''Б'' и са правом ''а'' немају заједничких тачака. Сем тих правих постоји и бесконачно много правих које садрже тачку ''Б'' и секу праву ''а''. Скуп свих правих које пролазе кроз ''Б'' можемо поделити на два скупа и то скуп који садржи све праве које секу праву ''а'' и скуп свих правих које не секу праву ''а''. Међу свим тим правама постоје две праве ''а1'' и ''а2'' које раздвајају ова два скупа. Оне припадају скупу правих које не секу праву ''а''.
Линија 61 ⟶ 60:
== Модели хиперболичке равни ==
Постоји неколико модела који се користе за објашњавање Хиперболичке геометрије: [[Клајнов модел]], [[Поенкареов диск модел]], [[Поенкареов полуравански диск модел]] и [[Лоренцов модел]]. Ови модели дефинишу реалан хиперболички простор који задовољава аксиоме хиперболичке геометрије. Упркос именима која су добили, полуравнске моделе је смислио Белтрами, а не Понкаре или Клајн.
==Основне тригонометријске функције==
(a) <math>cosh(x) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}</math>
(b) <math>sinh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}</math>
(c) <math>tanh(x) = \frac{sinh(x)}{cosh(x)} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}</math>
Одавде добијамо:
(1) <math>\qquad cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1</math>
(2) <math>\qquad sinh(2x) = 2cosh(x)sinh(x)</math>
(3) <math>\qquad cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x)</math>.
Из (1) и (3) добијамо:
(3') <math>\qquad cosh(2x) = 2cosh^2(x) - 1.</math>
Користећи (1), (2) и (3), добијамо:
(4) <math>sinh(2x) = \frac{2tanh(x)}{1-tanh^2(x)}</math>
(5) <math>cosh(2x) = \frac{1+tanh^2(x)}{1-tanh^2(x)}</math>
(6) <math>tanh(2x) = \frac{2tanh(x)}{1+tanh^2(x)}</math>.
Рачунањем, из дефиниције добијамо:
(7) <math>tanh(x+y) = \frac{tanh(x)+tanh(y)}{1+tanh(x)tanh(y)}</math>.
Користећи и </math>(c)</math>,
<math>tanh(x) = \frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} = 1 - \frac{2}{e^{2x}+1}</math>,
тако да је <math>\qquad tanh(0) = 0</math>.
==Синусна теорема==
За сваки <math>h</math>-троугао <math>ABC</math> важи:
<math>\frac{sin(A)}{sinh(a)} = \frac{sin(B)}{sinh(b)} = \frac{sin(C)}{sinh(c)}.</math>
==Хиперболички однос==
'''Дефиниција:'''
Ако се <math>h</math>-тачке <math>A</math>, <math>B</math> и <math>X</math> налазе на <math>h</math>-pravoj, правој, онда је њихов хиперболички однос:
<math>h(A,X,B) = \frac{sinh(d(A,X))}{sinh(d(X,B))}</math>, \qquad ako je <math>X</math> između <math>A</math> i <math>B</math>, a inače je:
<math>h(A,X,B) = -\frac{sinh(d(A,X))}{sinh(d(X,B))}.</math>
'''Особине:'''
(1) <math>\qquad h(A,X,B)=-h(B,X,A)</math>
(2) ако је <math>X</math> između <math>A</math> i <math>B</math>, онда важи <math>\qquad h(A,X,B)\in (0,1)</math>
(3) ако су <math>X</math> и <math>A</math> са различитих страна <math>B</math>, онда важи <math>\qquad h(A,X,B)\in (-\infty ,-1)</math>
(4) ако су <math>X</math> и <math>B</math> са различитих страна <math>A</math>, онда важи <math>\qquad h(A,X,B)\in (-1,0)</math>
==Чевина теорема==
Ако <math>h</math>-тачка <math>X</math> не припада ниједној од <math>h</math>-страница <math>h</math>-троугла <math>ABC</math>, тако да се <math>AX</math> и <math>BC</math> секу у <math>Q</math>, <math>BX</math> и <math>AC</math> у <math>R</math> и <math>CX</math> и <math>AB</math> у <math>P</math>, тада је:
<math>\qquad h(A,P,B)h(B,Q,C)h(C,R,A) = 1</math>.
==Менелајева теорема==
Ако <math>h</math>-права <math>l</math> не пролази ни кроз једно теме <math>h</math>-троугла <math>ABC</math>, тако да сече <math>BC</math> у <math>Q</math>, <math>AC</math> у <math>R</math> и <math>AB</math> у <math>P</math>, тада је:
<math>\qquad h(A,P,B)h(B,Q,C)h(C,R,A) = -1</math>.
== Види још ==
| |||