Беселова функција — разлика између измена

Иако α и −α дају исту диференцијалну једначину, уобичајена је пракса да се дефинишу различите Беселове функције за ова два реда. Беселове функције су још познате под именима „цилиндричне функције“ или „цилиндрични хармоници“, јер их налазимо у решењу [[Лапласова једначина|Лапласове једначине]] у [[Цилиндричне координате|цилиндричним координатама]].

 

С обзиром да је у питању диференцијална једначина другог реда, она мора имати два линеарно независна решења. Зависно од околности, ова решења се исказују на различите начине, што је изложено у даљем тексту.

 

Беселове функције прве врсте, које се означавају са <math>J_\alpha(x)</math>, су решења Беселове диференцијалне једначине која су коначна у координтном почетку (<math>x = 0</math>) за ненегативне целобројне вредности <math>\alpha</math>, док су бесконачна када <math>x</math> тежи нули за негативне не-целобројне вредности <math>\alpha</math>. Тип решења (нпр. целобројна или не-целобројна) и нормализација <math>J_\alpha(x)</math> су дефинисани особинама Беселове функције. Могуће је дефинисати функцију преко њеног развоја у [[Тејлоров ред]] у близини тачке <math>x = 0</math>:

 

где је <math>\Gamma(z)</math> [[гама функција]], генерализација [[факторијел]]а на скуп реалних бројева. Графици Беселових функција изгледају слично синусоидама које опадају у интензитету пропорционално 1/√-{''x''}-, иако њихова решења у принципу нису периодична, осим асимптотски за велике вредности -{''x''}-.

 

 

За α које није цео број, функције <math>J_\alpha (x)</math> и <math>J_{-\alpha} (x)</math> су независне, и стога представљају два решења диференцијалне једначине. С друге стране, за целобројне редове <math>\alpha</math> важи (приметите да гама функција постаје бесконачна за аргументе који су негативни цели бројеви):

Беселове функције друге врсте, које се означавају са -{''Y''_''α''(''x'')}-, су решења Беселове диференцијалне једначине. Она имају сингуларитет ([[Бесконачност (математика)|бесконачна су]]) у координатном почетку (-{''x''}- = 0).

 

 

 

:<math>Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}.</math>

 

== Види још ==

 

{{Commonscat|Drum vibration animations}}