Функција (математика) — разлика између измена

'''Функција''' или '''пресликавање''' је правило придруживања једног [[Елеменат|елемента]] из [[скуп]]а <math>\,X</math> који се тада назива [[домен]] функције, другом елементу из скупа <math>\,Y</math> - [[кодомен]] функције, који се још назива и контрадомен функције, скуп копија, скуп слика. Домен функције <math>f</math>се често означава са <math>\mathcal{D}(f)</math>, а кодомен са <math>\mathcal{K}(f).</math>

 

 

=== Дефиниције из теорије скупова ===

[[Скуп]] се у математици узима за основни појам. [[Декартов производ скупова]] је скуп уређених парова. [[Уређени пар]] елемената чине било каква два елемента за које је важан поредак. [[релација|Релација]] је непразан подскуп Декартовог производа скупова, а функција је једна врста релације.

 

; Дефиниција 1: Нека су <math>A</math> и <math>B</math> непразни скупови. Тада се бинарна релација <math>f\subseteq A\times B</math> зове функција или пресликавање из <math>A</math> у <math>B</math>, ако важи:

:<math>(\forall x\in A)(\exists!y\in B)y=f(x),</math>

 

; Дефиниција 2 (еквивалентна претходној): бинарна релација <math>f</math> из <math>A</math> у <math>B</math> је функција ако је

== Врсте пресликавања ==

 

; Дефиниција: Функција <math>f:A\rightarrow B</math> зове се ''[[сурјекција]]'', или ''[["на"-пресликавање'']], ако је <math>\mathcal{K}(f)=B,</math>

 

Односно, функција је сурјекција ако и само ако су сви елементи кодомена нечије слике. Сурјекција по дефиницији дозвољава „дупле копије“, тј. да се више елемената из домена пресликавају у исти елемент кодомена.

 

; Дефиниција: Функција <math>f:A\rightarrow B</math> зове се ''[[инјекција]]'', или ''[["1-1"-пресликавање]]'', ако важи:

:<math>(\forall x_1,x_2\in A)(f(x_1)=f(x_2))\Rightarrow (x_1=x_2).</math>

Дакле, иста копија не може бити резултат копирања различитих оригинала. Инјекција по дефиницији дозвољава да у скупу копија постоје елементи који уопште нису резултат пресликавања.

 

; Дефиниција: Функција која је сурјекција и инјекција зове се ''[[бијекција]]''.

 

Бијекцију називамо и ''обострано једнозначно'' пресликавање.

 

 

Како у [[математичка анализа|математичкој анализи]], тако и у још појединим областима математике, а можда и у целој [[математика|математици]], функција која се можда и најчешће користи је тзв. ''функција реалне променљиве''.

Под [[функција реалне променљиве|функцијом реалне променљиве]], мисли се на функцију <math>f:X\rightarrow Y,</math> где је <math>X \subseteq \mathbb{R}</math> и <math>Y = \mathbb{R}.</math> Другим речима, функција реалне променљиве је свака функција чији је домен подскуп скупа реалних бројева <math>\mathbb{R}</math> или цео скуп <math>\mathbb{R}</math>, а кодомен јој је <math>\mathbb{R}</math>.

 

{{главни чланак|Парност функције}}

; Дефиниција: За скуп <math>X \subset \mathbb{R}</math> кажемо да је симетричан, ако за свако <math>x \in X</math> и <math>-x \in X</math>.

 

Већина функција није ни парна, ни непарна, али се свака функција дефинисана на симетричном подскупу може представити као збир парне и непарне функције.

 

{{главни чланак|Периодичност функције}}

 

; Дефиниција: За функцију реалне променљиве <math>f:X\rightarrow \mathbb{R}</math> кажемо да је [[периодична функција|периодична]] са [[период]]ом <math>T</math>, ако постоји <math>T> 0</math> такво да важи:

која је периодична, али нема најмањи период.

 

{{главни чланак|Монотоност функције}}

; Дефиниција: [[Монотоност функције]] означава својство оних функција које задовољавају било који од следећих услова:

 

:<math>(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} \le x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \le f(x_{2}))</math>

:<math>(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} < x_{2} \rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}))</math>

:<math>(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} \le x_{2} \rightarrow f(x_{1}) \ge f(x_{2}))</math>

:<math>(\forall x_{1},x_{2} \in X) (x_{1} < x_{2} \rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2}))</math>

 

За функцију која задовољава ово својство (тј. било које од четири наведена својства) кажемо да је ''монотона'' на [[кодомен]]у. Специјално, за функцију која задовољава друго или четврто својство од четири наведена, кажемо да је ''строго монотона'' на кодомену.

 

 

* Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.