Троугао — разлика између измена

 

<table align="center"><tr align="center">

</tr>

<tr align="center">

<table align="center">

<tr align="center">

</tr>

<tr align="center">

 

== Сродни појмови ==

* [[Криволинијски троугао]] је скуп три тачке -{A, B, C}-, које не леже на једној правој, повезани између себе [[лук]]овима кривих линија и деловима правих које леже у равни одређеној тачкама -{A, B, C}-. На пример, [[кружни исечак]] је [[криволинијски троугао]].

* [[Тротеменик]] је троугао [[Пројективна геометрија|пројективне геометрије]].

 

[[Хилбертове аксиоме]] елементарне геометрије садрже аксиоме распореда (2. група аксиома), међу којима је најважнија тзв.

; Пашова аксиома: Ако су -{A, B}- и -{C}- три неколинеарне тачке, -{D}- тачка између A и -{B}- и у равни -{ABC}- права -{p}-, која садржи тачку -{D}- и не садржи ни једну од тачака -{A, B, C}-, тада на правој -{p}- постоји тачка E, таква да је -{B-E-C}- или -{A-E-C}-, тј. Е је између -{B}- и -{C}- или је између A и -{C}-.

 

 

; Теорема 1: Ако су А и -{B}- две различите тачке, тада постоји [[Тачка (геометрија)|тачка]] -{С}- између А и -{B}-.

; Доказ: Позивамо се на Хилбертову аксиому везе (припадања): свака [[права]] садржи најмање две различите тачке; постоје три [[неколинеарне тачке]]. Затим се позивамо на Хилбертову аксиому распореда: ако су -{B}- и -{D}- две разне тачке тада постоји тачка Е, таква да је -{B-D-E}-. На Пашову аксиому и користимо слику десно.

: Дакле, постоји тачка -{D}-, таква да су A, -{B, D}- неколинеарне тачке (аксиома везе). Затим, постоји тачка Е таква да је -{B-D-E}- (аксиома распореда), и слично, на правој -{АЕ}- постоји тачка -{F}-, таква да је -{A-E-F}-. Сада су A, -{B}- и E три три неколинеарне тачке и (Пашова аксиома) права -{FD}- пролази кроз тачку -{С}- такву да је -{A-C-B}-. Крај доказа.

# '''ССУ''': Два троугла су подударна ако и само ако су две странице и угао наспрам веће од њих у једном троуглу једнаки са две одговарајуће странице и углом другог.

 

Последњи став се може изрећи и овако: Два троугла су подударна ако и само ако су две странице и угао наспрам једне од њих у једном троуглу једнаки са две одговарајуће странице и углом другог, а оба троугла су исте врсте, тј. оба су оштра, правоугла, или тупоугла. Међутим, без додатка да је угао наспрам веће стране, или да су оба троугла исте врсте, имали бисмо ситуацију као на слици лево. Троуглови -{AB}-₁-{C}- и -{AB}-₂-{C}- су очигледно различити (разликују се за троугао -{B}-₁-{B}-₂-{C}-), али оба имају једнаке по две стране и угао: a, -{b}-, &alpha;.

 

: Обрнуто, ако је <math>\angle ABC =\angle BAC,</math> тада према ставу УСУ следи подударност троуглова -{ABC}- и -{BAC}-, а отуда једнакост страница -{AC}- и -{BC}-. Крај доказа.

 

Троугао који има две једнаке странице назива се ''једнакокраки'' троугао, а она трећа страница се тада назива ''основица''. Дакле, [[једнакокраки троугао]] на основици има једнаке [[угао (математика)|углове]]. Када су све три странице троугла једнаке, троугао се назива ''једнакостраничан''. Код [[једнакостраничан троугао|једнакостраничног троугла]], према истој теореми (2), сва три унутрашња угла су једнака. ''Медијана'' троугла је дуж која спаја врх са средином супротне странице троугла. Права која садржи медијану назива се ''тежишна линија'' троугла, а код нас се понекад тежишна линија сматра исто што и медијана. ''Висина'' троугла је дуж која спаја врх са најближом тачком на супротној страници троугла. Висина је окомита на супротну страницу троугла. На крају, подсетимо се да је прав угао (90°), по дефиницији онај угао који је једнак свом напоредном (суплементном) углу.

; Теорема 3: Тежишна линија која одговара основици једнакокраког троугла истовремено представља висину на основицу и симетралу угла код врха.

Слично бисмо доказали и следеће тврђење: Симетрала угла наспрам основице једнакокраког троугла нормална је на основицу.

 

; Теорема 4: Наспрам веће стране троугла налази се већи угао и обратно, наспрам већег угла троугла налази се већа страница.

 

; Теорема 5: (''О неједнакости троугла'') Било која [[страница]] троугла мања је од [[збир]]а остале две. Еквивалентно је разлика две странице троугла увек мања од треће.

 

; Доказ: Дат је троугао ABC као на слици. Тачка D је на продужетку праве -{AC}-, са стане -{С}-, и -{CD = CB = a}-. Тада је -{AD = b + а}-. Троугао -{BCD}- је једнакокрак, па је <math>\angle CBD = \angle CDB,</math> рецимо &phi;. Углови у темену -{B}- су суседни те је <math>\angle ABD > \phi,</math> па у троуглу -{ABD}- имамо <math>\angle ABD > \angle ADB,</math> и на основу претходне теореме следи -{AD > AB}-, тј. -{b + a > c}-. Слично се доказује да је -{a + c > b}-, и -{b + c > a}-.

: Даље, нека је, на пример, -{c}- &ge; -{b}- &ge; -{a}-. Тада из већ доказаних неједнакости за збир страница,

Поред ''темена'', постоје још четири основне значајне [[Тачка (геометрија)|тачке]] за сваки троугао. То су ''центар уписаног круга'', који се налази на пресеку [[симетрала]] [[угао (математика)|углова]]. ''Центар описаног круга'' који се налази на пресеку симетрала [[страница]]. ''Ортоцентар'' је пресек [[висина]]. ''Тежиште'' је тачка у којој се секу ''тежишнице''; [[тежишница]] је права на којој се налази [[медијана]] а која спаја врх са средином супротне странице троугла. Често се узима да је тежишница исто што и медијана троугла. [[Тежиште]] дели тежишницу у односу 2:1 почев од врха. У [[теорема]]ма које следе доказујемо да је свака од ове четири тачке јединствена (три праве се не морају сећи у једној тачки).

 

; Теорема 6: (''О центру уписаног круга'') Симетрале углова троугла секу се у једној тачки.

 

Уписани круг у троугао осим тачака -{M, N}- и -{P}-, тј. подножја нормала из центра круга О на странице -{AB, BC}- и -{AC}-, нема других заједничких тачкака са датим троуглом. Наиме, ако претпоставимо да овај круг има, на пример, са страницом AB заједничку тачку M' различиту од M тада би троугао OMM' био правоугли са хипотенузом OM'. Дакле, било би OM'>OM, па би тачка M' била ван круга.

 

; Теорема 7: (''О центру описаног круга'') Симетрале страница троугла секу се у једној тачки.

; Доказ: Симетрале -{s}-_a, -{s}-_-{b}- страница -{BC}- и -{AC}- троугла -{ABC}- секу се у тачки -{S}-, слика десно. Лако је доказати -{BS = CS}-, јер су троуглови -{BSA}-₁ и -{CSA}-₁ подударни, при чему је са -{A}-₁ означено средиште странице -{BC}-. Даље, из <math>S \in s_b</math> следи -{CS = AS}-, па и -{AS = BS}-. Дакле, троугао -{ABS}- је једнакокраки па тачка -{S}- припада и симетрали дужи -{AB}-, tj. s_-{c}-. Крај доказа.

 

Последња од четири наведене значајне тачке троугла је ''тежиште''. Оно се налази на пресеку ''тежишница'', а тежишница је линија која спаја врх са средином супротне странице троугла. Дуж која спаја две средине страница назива се [[средња линија троугла]]. Познато је да је средња линија троугла паралелна трећој страници и једнака њеној половини.

'''На пример''', на слици десно, -{MN}- је средња линија троугла -{ABC}-. То значи да су -{АМ}- и -{BN}- тежишнице тога троугла, а да је Т тежиште. Даље, нека су -{P}- и -{Q}- средине тих тежишница, истим редом. Тада је -{PQ}- средња линија троугла -{ABT}-, па су обе дужи -{MN}- и -{PQ}- паралелне истој основици -{AB}- и једнаке њеној половини, што значи да су оне и међусобно паралелне и једнаке. Затим, да је -{АТ}- двоструко дуже од -{ТМ}-. Дакле, доказали смо да тежиште Т дели (призвољну) тежишницу АМ у односу 2:1 почев од врха. Оно што нисмо доказали је јединственост тачке Т за све три тежишнице. О томе говори следећа теорема.

 

; Теорема 9: (''О тежишту'') Тежишне линије (медијане) троугла секу се у једној тачки, тежишту троугла. Дужина дела тежишне линије од тежишта до темена два пута је већа од дужине дела линије од тежишта до средишта наспрамне странице.

; Доказ: Нека је Т заједничка тачка тежишних линија АМ и -{BN}- троугла -{ABC}-, на слици лево. Треба доказати да и тежишна линија -{CP}- пролази кроз Т. Претпоставимо супротно, да се -{CP}- и АМ секу у тачки -{S}-, различитој од Т. Тада је <math>AS = 2SM,</math> па је <math>AS = \frac{2}{3}AM.</math> Исто тако је <math>AT = 2TM,</math> па је <math>AT = \frac{2}{3}AM.</math> Што значи да је <math>AT = AS.</math> То је немогуће, јер су обе тачке -{S}- и T између тачака А и М. Крај доказа.

 

== Литература ==

 

{{Многоуглови}}