Ранг матрице — разлика између измена

Ранг -{''-{m''×''n''}-'' матрице је [[цео број]] између 0 и -{min(''m'',''n'')}-. Једина матрица ранга нула је [[нула-матрица]]. Квадратна матрица реда ''-{''n}-''}- је ранга -{''-{n''}-'' ако и само ако је инверзибилна, стога за инверзибилне матрице кажемо и да су „пуног ранга“. Општије, ранг дијагонализабилне квадратне матрице једнак је броју њених не-нула својствених вредности, рачунајући са вишеструкостима. Ако је -{0≤''k''≤''n''}- и -{''-{P''}-'' матрица [[пројекција|пројекције]] простора -{''-{'R'''^''n''}- на неки његов -{''k''}-''-димензиони [[векторски потпростор|потпростор]] (ортогоналне или дуж ма ког комплементарног -{(''n'' − ''k'')}--димензионог потпростора), тада је ''-{''P}-''}- ранга ''-{''k''}-''. Свака матрица ранга -{''-{k''}-'' је производ инверзибилне матрице и матрице пројекције на неки -{''-{k''}-''-димензиони потпростор.

Линеарно пресликавање -{''-{L'' : '''R'''^''n'' → '''R'''^''m''}- је мономорфизам ([[инјекција (математика)|инјективно]]) ако и само је -{''r''(''L'') = ''n''}-'', а епиморфизам ([[сурјекција|сурјективно]]) ако и само ако је ''-{''r''(''L'') = ''m}-''}-. За -{''-{m'' × ''n''}-'' матрицу кажемо да је „пуног ранга колона“ ако је -{''-{r''(''A'') = ''n''}-'', односно „пуног ранга врста“ ако је -{''-{r''(''A'') = ''m''}-''.

:'''[[Став према рангу и дефекту]]''': За сваку -{''-{m'' × ''n''}-'' матрицу -{''-{A''}-'' је

која важи за сваке три матрице ''-{''A}-''}-, ''-{''B''}-'', -{''-{C''}-'' формата таквог да су сви матрични производи у неједнакости дефинисани. Посебно је за сваке две -{''-{m'' × ''n''}-'' и -{''-{n'' × ''p}-''}- матрице -{''-{A''}-'' и -{''-{B''}-''

Ранг производа -{''-{AB''}-'' је једнак рангу матрице -{''-{A''}-'' ако је ''-{''B''}-'' пуног ранга врста, и рангу матрице -{''-{B''}-'' ако је -{''-{A''}-'' пуног ранга колона.

:-{''-{A'''''x''' = '''b'''}-''

конзистентан ако и само ако је ранг проширене матрице система -{[ ''A'' : '''b''' ]}- једнак рангу матрице коефицијената система -{''-{A''}-''.

Ранг матрице може понудити и додатне информације о броју решења линеарног система (формата -{''-{m'' × ''n''}-''), на пример:

*Ако је -{''-{r''(''A'') = ''m''}-'', тада ће систем у ВСЕО имати водећу променљиву у свакој од једначина и стога је нужно конзистентан, са јединственим решењем ако је -{''-{m'' = ''n''}-'' или бесконачно много решења (која чине афини потпростор димензије -{''-{n'' − ''m}-''}- ако је -{''-{m'' < ''n''}-''.

*Ако је -{''-{r''(''A'') = ''n''}-'', тада су све променљиве водеће у сведеном облику, па је систем или неконзистентан или има јединствено решење, већ зависно од тога да ли је ранг проширене матрице система једнак -{''-{n'' + 1}- или -{''n''}-''.

*Ако је -{''-{r''(''A'')&nbsp;<&nbsp;''n''}-'', тада систем има и слободних променљивих у сведеном облику, па је или неконзистентан или има бесконачно много решења, зависно од тога да ли је ранг проширене матрице система већи или једнак -{''r''(''A'')}-.

Ранг матрице се увек може израчунати [[Гаусов поступак елиминације|Гаусовим поступком елиминације]], али је у нумеричким израчунавањима која користе [[аритметика покретног зареза|аритметику покретног зареза]] овај поступак ([[LU декомпозиција|''-{''LU''}-'' декомпозиција]]) нестабилан. Уместо њега, чешће се користе [[декомопозиција по сингуларним вредностима]] или [[QR декомпозиција|-{''-{QR''}-'' декомпозиција]] са пивотима. Нумеричко одређивање ранга увек укључује и практични избор прага помоћу којег се одређује када елемент јако мале нумеричке вредности треба третирати као нулу, који ће зависити од својстава матрице и конкретне примене.