Википедија

Леви-Чивита симбол — разлика између измена

Интерактиван преглед историје
← Старија изменаНовија измена →
Садржај обрисан Садржај додат
ВизуелноВикитекст
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Разне исправке
Autobot (разговор | доприноси)
1.572.075 измена
м Разне исправке; козметичке измене
Ред 1:
'''Леви-Чивита симбол''' представља математички пермутациони симбол, који се користи у [[Тензори|тензорском рачуну]]. Име је добио по талијанском математичару [[Тулије Леви-Чивита|Тулију Леви-Чивити]].
У тродимензионалном простору означава се са <math> \varepsilon_{ijk}</math>. Називају га још и антисиметричним јединичним тензором.
== Дефиниција у тродимензионалном простору ==
У тродимензионалном простору дефинише се као:
:<math> \varepsilon_{ijk} = \varepsilon^{ijk} =
Ред 9:
\;\;\,0 & \text{ako je }i=j \text{ ili } j=k \text{ ili } k=i
\end{cases} </math>
[[СликаДатотека:Epsilontensor.svg|thumb|250px|Приказ Леви-Чивита симбола као 3×3×3 матрице]]
 
тј. <math> \varepsilon_{ijk} </math> је 1 ако (''i'', ''j'', ''k'') представља парну [[пермутација|пермутацију]] бројева (1,2,3), једнак је −1 у случају непарних пермутација, а једнак је 0 у случају да се индекси понављају. Леви-Чивита симбол може да се напише и помоћу формуле:
:<math>
\varepsilon_{ijk} = \frac{\left( i-j \right)\left( j-k \right)\left( k-i \right)}{2}
</math>
== Дефиниција у четвородимензионалном простору ==
Дефиниција у четвородимензионалном простору је:
:<math>
\varepsilon_{ijkl} = \frac{\left( i-j \right)\left( i-k \right)\left( i-l \right)\left( j-k \right)\left( j-l \right)\left( k-l \right)}{12}
</math>
У n-димензионалном простору Леви-Чивита симбол је:
Ред 30:
Поопштена формула може да се напише и као:
:<math>
\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} = \sgn \! \left( \prod_{i<j}^n ( a_j-a_i ) \right) = \sgn \! \left( \prod_{i=1}^{n-1} \ \prod_{j=i+1}^n ( a_j-a_i ) \right) </math>
== Својства ==
=== У две димензије ===
{{NumBlk|:|
<math>\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = \delta_i {}^m \delta_j {}^n - \delta_i {}^n \delta_j {}^m </math>
Ред 42:
<math>\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij} = 2 </math>
|{{EquationRef|3}}}}
=== У три димензије ===
{{NumBlk|:|
<math>\varepsilon_{ijk} \varepsilon^{imn}=\delta_j{}^{m}\delta_k{}^n - \delta_j{}^n\delta_k{}^m </math>
Ред 59:
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{vmatrix}\\
& = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right)
\end{align}</math>
Специјални случај једначине (4) је:
Ред 67:
У [[Ајнштајнова нотација|Ајнштајновој нотацији]] индекс записан два пута значи сумацију по том индексу, па је једначина једноставнијега записа:
<math> \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\,.</math>
=== У н димензија ===
{{NumBlk|:|
<math>\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}{}^{j_1} \dots \delta_{i_n]}{}^{j_n} </math>
Ред 84:
\delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots & \delta_{i_n j_n} \\
\end{vmatrix} </math>.
== Примери ==
[[Детерминанта]] матрице 3 × 3 може да се запише помоћу Леви-Чивита симбола:
:<math>\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}</math>
Ред 112:
:<math> (\nabla \times \mathbf{F})^i(\mathbf{x}) = \varepsilon^{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j} F^k(\mathbf{x}),</math>
 
== Литература ==
* -{J.R. Tyldesley (1973). An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists. Longman. ISBN 0-582-44355-5}-
 
[[Категорија:Линеарна алгебра]]
[[Категорија:Тензори]]
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/wiki/Леви-Чивита_симбол”