Изоморфизам (математика) — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот Додаје: bg:Изоморфизъм |
Нема описа измене |
||
Ред 9:
Ако постоји изоморфизам између две структуре, онда се за њих каже да су '''изоморфне'''. Ово се, рецимо за структуре ''-{X}-'' и ''-{Y}-'' означава са <math>X\cong Y</math>.
== Практичан пример ==
Следе примери изоморфизама из ''обичне'' [[алгебра|алгебре]].
<ul><li>
Посматрајмо [[логаритамска функција|логаритамску функцију]]: За сваку фиксирану базу ''b'', логаритам log<sub>''b''</sub> пресликава позитивне [[реалан број|реалне бројеве]] <math>\mathbb{R}^+</math> у реалне бројеве <math>\mathbb{R}</math>; формално:
:<math>\log_b : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \!</math>
Ово пресликавање је [[инјективно пресликавање|један-један]] и [[сурјективно пресликавање|на]], тј, оно је [[бијекција]] са [[домен (математика)|домена]] у [[кодомен]] логаритамске функције.
Осим што је изоморфизамскупова, логаритамска функција такође чува одређене операције. На пример, посматрајмо [[група (математика)|групу]] <math>(\mathbb{R}^+,\times)</math> позитивних реалних бројева у односу на обично множење. За логаритамску функцију важи следећи идентитет:
:<math>\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y) \!</math>
Али реални бројеви у односу на сабирање су такође група. Тако да је логаритамска функција у ствари изоморфизам групе из групе <math>(\mathbb{R}^+,\times)</math> у групу <math>(\mathbb{R},+)</math>.
<p>
Логаритми се стога могу користити да поједноставе множење реалних бројева. Помоћу логаритама, множење позитивних реалних бројева се замењује сабирањем логаритама.
</li>
<li> Посматрајмо групу Z/6Z бројева од 0 до 5 у односу на сабирање по модулу 6. Такође посматрајмо групу '''Z/2Z''' × '''Z/3Z''', уређених парова где ''x'' координате могу бити 0 или 1, а ''y'' координате могу бити 0, 1, или 2, а сабирање ''x''-координате је по модулу 2 а сабирање ''y''-координате је по модулу 3.
Ове структуре су изоморфне у односу на сабирање, ако се идентификују коришћењем следеће схеме:
::(0,0) -> 0
::(1,1) -> 1
::(0,2) -> 2
::(1,0) -> 3
::(0,1) -> 4
::(1,2) -> 5
или уопштено (''a'',''b'') -> ( 3''a'' + 4 ''b'' ) mod 6.
На пример, (1,1) + (1,0) = (0,1) што се пресликава у други систем као 1 + 3 = 4.
Чак иако ова два скупа ''изгледају'' различито, он су у ствари '''изоморфни'''. Општије, директан производ две [[циклична група|цикличне групе]]s '''Z/nZ''' and '''Z/mZ''' је цикличан ако и само ако су ''n'' и ''m'' узајамно прости.
</li>
</ul>
[[Категорија:Математика]] [[Категорија:Линеарна алгебра]]
| |||