Дуалност по Понтрјагину — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Бот: Селим 10 међујезичких веза, које су сад на Википодацима на d:q1632419 |
Нема описа измене |
||
Ред 6:
*Свакој комплесној функцији на коначној абеловој групи одговара њена [[дискретна Фуријеова трансформација]], која је функција на [[#дуална група|дуалној групи]], која је и сама коначна абелова група, заправо (не-[[канонски]]) [[изоморфизам|изоморфна]] полазној групи. Полазна функција се може реконструисати из своје дискретне Фуријеове трансформације (као њена инверзна дискретна Фуријеова трансформација), и обрнуто.
У општем, свакој локално компактној абеловој групи -{''G''}- одговара друга локално компактна абелова група -{''G''^}-, њена '''дуална група''' (или '''Понтрјагинов дуал'''), при чему је дуална групе групе -{''G''^}- канонски изоморфна полазној групи -{''G''}-. Дуалност између простора функција на ''-{G}-'' и -{''G''^}- реализује се помоћу интеграције по [[мера
Ова веома општа конструкција, коју је увео [[Русија|руски]] математичар [[Лав Семјонович Понтрјагин]], игра важну улогу у апстрактној теорији Фуријеових трансформација (односно хармонијске анализе на општим просторима), структурној теорији локално компактних абелових тополошких група и [[теорија бројева|теорији бројева]].
Ред 43:
== Фуријеова трансформација ==
Дуалност између простора функција на -{''G''}- и -{''G''^}- остварује се путем Фуријеове трансформације, при чему се интеграција врши по [[мера
Нека су -{''μ''}- и -{''ν''}- мере
:<math>\hat{f}(\chi)=\int_Gf(g)\overline{\chi(g)}\,\mbox{d}\mu(g)</math>.
Слично, ако је -{''φ''}- функција у -{''L''<sup>1</sup>(''G''^)}-, тада је њена инверзна Фуријеова трансформација функција -{''φ''ˇ}- на -{''G''}- дата са
:<math>\check{\varphi}(g)=\int_{\hat{G}}\varphi(\chi)\chi(g)\,\mbox{d}\nu(\chi)</math>.
Овако дефинисана Фуријеова трансформација има велики број својстава класичне Фуријеове анализе. Мере
:<math>\int_G|f(g)|^2\,\mbox{d}\mu(g)=\int_{\hat{G}}|\hat{f}(\chi)|^2\,\mbox{d}\nu(\chi)</math>
за сваку непрекидну функцију -{''f''}- са компактним носачем у -{''G''}-. Кажемо да су овакве мере ''μ'' и ''ν'' асоциране. Како је простор -{''C''<sub>''c''</sub>(''G'') ⊂ ''L''<sup>1</sup>(''G'') ∩ ''L''<sup>2</sup>(''G'')}- непрекидних функција са компактним носачем [[густ скуп|густ]] у простору -{''L''<sup>2</sup>(''G'')}- квадратно-интеграбилних функција на -{''G''}-, и како је -{''L''<sup>2</sup>(''G'')}- [[комплетан простор|комплетан]], уобичајеним поступком приближавања у [[функционална анализа|функционалној анализи]] следи да Фуријеова трансформација има јединствено проширење са -{''L''<sup>1</sup>(''G'') ∩ ''L''<sup>2</sup>(''G'')}- до [[унитарно пресликавање|унитарног пресликавања]]
| |||