Теорија скупова континуума — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
м Враћене измене 109.245.133.65 (разговор) на последњу измену корисника Ранко Николић |
|||
Ред 1:
'''Теорија скупова континуума''' од [[Георг Кантор|Канторових]] ({{јез-нем|Georg Cantor}}) времена па до
Да би се могао у потпуности разумети овај чланак, потребно је прво прочитати чланке [[Основе теорије скупова]] и [[Теорија скупова]].
== Дескриптивна теорија скупова ==
Дескриптивна теорија скупова проучава својства и структуре дефинабилних подскупова у <math>\mathbb{R}^n</math> и у другим [[пољски простор|пољским просторима]], тј. оним који су сепарабилни, метрички и комплетни. Као пример пољских простора поменућемо
Аналитички скупови, у ознаци <math>\sideset{}{_1^1}\sum</math>, дефинишу се као непрекидне слике Борелових скупова; коаналитички скупови или <math>\sideset{}{_1^1}\prod</math> скупови су комплементи аналитичких скупова. Пројективни скупови се добијају пројекцијом (<math>\mathbb{R} \times \mathbb{N}</math> на <math>\mathbb{R}</math>) и комплементирањем аналитичких скупова. Пројективни скупови формирају хијерархију растуће комплесности. На пример, ако је <math>A \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{N}</math> коаналитички скуп, онда је пројекција <math>\{x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{N}((x,y)\in A)\}</math> пројективни скуп у следећем нивоу комплексности изнад коаналитичких скупова. Ови скупови се зову <math>\sideset{}{_2^1}\sum</math>, а њихови комплементи <math>\sideset{}{_2^1}\prod</math>.
Ред 18:
Помоћу ЦФИ је могуће показати да је сваки (ко)аналитички скуп мерљив по Лебегу и да има Берово својство, а да сваки аналитички скуп има својство савршености. У ЦФИ се не може показати да сваки коаналитички скуп има својство савршености.
Теорија пројективних скупова чија је комплексност већа од комплексности коаналитичког скупа је потпуно ЦФИ неодређена. На пример, у <math>L</math> постоји <math>\sideset{}{_2^1}\sum</math> скуп који није мерљив по Лебегу и нема Берово својство, а ако
== Детерминација ==
Ред 30:
== Хипотеза континуума ==
Хипотезу континуума (ХК) формулисао је Кантор. Овом хипотезом се тврди да сваки бесконачни скуп реалних бројева има [[кардиналност]] <math>\aleph_{0}</math> или исту кардиналност као и <math>\mathbb{R}</math>, тј. <math>2^{\aleph_{0}}=\aleph^{1}</math>. Затворени скупови реалних бројева имају својство савршеног скупа, одакле следи да сваки непребројив затворен скуп реалних бројева има исту кардиналност као и <math>\mathbb{R}</math>. На тај начин ХК важи за затворене скупове.
== Референце ==
| |||