Решавање троугла

Решавање троугла значи налажење преосталих углова и страница када је дат минимум података. Основни елементи троугла су три угла и три странице, а минимум података, чине три од тих основних елемента, од којих је најмање један страница. Наиме, када знамо два угла троугла тада можемо сматрати да знамо и трећи, јер је збир углова у троуглу увек исти, 180°. Међутим, троугао није одређен само својим основним елементима. Могуће је конструисати троугао дат тежишницом (медијаном) и двема страницама, или страницом, висином и углом, итд.

Оштроугли троугао

Оштроугли троугао има сва три угла мања од правог угла (90 степени). При решавању оштроуглог троугла могућа су следећа четири случаја:

1. дате су три стране (ССС);
2. дате су две стране и угао између њих (СУС);
3. дата је страница и два налегла угла (УСУ);
4. дате су две стране и угао наспрам веће од њих (ССУ).

То су они исти услови који дефинишу подударност троуглова. Размотрићемо сваки од ових задатака и навести бар по једну формулу за проверу добивеног решења.

Задатак ССС

Дате су три странице $a,\;b,\;c$ троугла. Наћи његове углове.

1. начин

Косинусна теорема $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A,$ даје угао А, јер $\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.$ Синусна теорема $a:\sin A=b:\sin B$ даће даље угао B, јер је $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}.$ На крају, трећи угао С можемо наћи и као суплемент (суплементни углови се допуњавају до 180°) претходна два, тј. $C=180^{o}-(A+B).$ Формула за проверу је $a:sinA=c:\sin C.$

2. начин

Прво израчунати полуобим $p={\frac {a+b+c}{2}},$ затим разлике $p-a,\;p-b,\;p-c,$ и тангенсна теорема даће углове:

$\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}},\;\operatorname {tg} {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}.$

Формула за проверу је $A+B+C=180^{o}.$

Овај задатак има јединствено решење једино ако су збирови по две од датих страница троугла већи од треће странице, тј. $a+b>c,\;b+c>a,\;c+a>b.$ Дакле, ако важи тзв. неједнакост троугла. Ако бар један од ових услова није испуњен онда уопште нема решења.

Задатак СУС

Дате су две стране $a,\;b\;(a>b)$ и угао С. Наћи страницу с и углове A, B.

Решење

Косинусна теорема даје страницу $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}.$ Синусна теорема даће углове. Из a>b следи да је угао B оштар, па према томе прво тражимо $\sin B={\frac {b\sin C}{c}},$ па налазимо угао B, а онда угао А који је суплементан угловима B, C, тј. $A=180^{o}-(B+C).$ Формула за проверу: $a:\sin A=b:\sin B.$

Задатак има једниствено решење ако је $C<180^{o}.$

Задатак УСУ

Дата је страница а и углови B и C. Наћи странице b, c и угао А.

Решење

Прво налазимо угао $A=180^{o}-(B+C).$ Затим, синусна теорема два пута, даје: $b={\frac {a\sin B}{\sin A}},\;c={\frac {a\sin C}{\sin A}}.$ Формула за проверу је $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.$ Задатак има јединствено решење ако је $B+C<180^{o}.$

Задатак ССУ

Дате су две странице a, b и угао А. Наћи страницу с и углове B, C.

Решење

Синусна теорема $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}$ даће угао B. Затим, угао С налазимо као суплемент угловима А и B, тј. $C=180^{o}-(A+B).$ На крају, још једном, синусна теорема $c={\frac {a\sin C}{\sin A}},$ даје страницу с. Формула за проверу: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.$

Када је a>b тада је $a>b\sin A,$ па је $\sin B={\frac {b\sin A}{a}}<1.$ Према томе задатак има јединствено решење, јер је угао B оштар независно од тога какав је угао А.

Када је a<b тада је A<B. Троугао је правоугли, или, ако је $b\sin A<a,$ задатак има два решења, јер се могу добити две вредности за угао B, оштар и туп угао. Трећи овај случај, $b\sin A>a,$ тј. $\sin B>1,$ нема решење.

Када је a=b тада је A<90° и B<90°. Задатак тада има јединствено решење.

Види још

• Математика
• Геометрија
• Равнинска тригонометрија
• Синусна теорема
• Косинусна теорема
• Тангенсна теорема
• Троугао