Решавање троугла

Решавање троугла значи налажење преосталих углова и страница када је дат минимум података. Основни елементи троугла су три угла и три странице, а минимум података, чине три од тих основних елемента, од којих је најмање један страница. Наиме, када знамо два угла троугла тада можемо сматрати да знамо и трећи, јер је збир углова у троуглу увек исти, 180°. Међутим, троугао није одређен само својим основним елементима. Могуће је конструисати троугао дат тежишницом (медијаном) и двема страницама, или страницом, висином и углом, итд.

Оштроугли троугаоУреди

Оштроугли троугао има сва три угла мања од правог угла (90 степени). При решавању оштроуглог троугла могућа су следећа четири случаја:

  1. дате су три стране (ССС);
  2. дате су две стране и угао између њих (СУС);
  3. дата је страница и два налегла угла (УСУ);
  4. дате су две стране и угао наспрам веће од њих (ССУ).

То су они исти услови који дефинишу подударност троуглова. Размотрићемо сваки од ових задатака и навести бар по једну формулу за проверу добивеног решења.

Задатак ССС
Дате су три странице   троугла. Наћи његове углове.
1. начин
Косинусна теорема   даје угао А, јер   Синусна теорема   даће даље угао B, јер је   На крају, трећи угао С можемо наћи и као суплемент (суплементни углови се допуњавају до 180°) претходна два, тј.   Формула за проверу је  
2. начин
Прво израчунати полуобим   затим разлике   и тангенсна теорема даће углове:
 
Формула за проверу је  

Овај задатак има јединствено решење једино ако су збирови по две од датих страница троугла већи од треће странице, тј.   Дакле, ако важи тзв. неједнакост троугла. Ако бар један од ових услова није испуњен онда уопште нема решења.

Задатак СУС
Дате су две стране   и угао С. Наћи страницу с и углове A, B.
Решење
Косинусна теорема даје страницу   Синусна теорема даће углове. Из a>b следи да је угао B оштар, па према томе прво тражимо   па налазимо угао B, а онда угао А који је суплементан угловима B, C, тј.   Формула за проверу:  

Задатак има једниствено решење ако је  

Задатак УСУ
Дата је страница а и углови B и C. Наћи странице b, c и угао А.
Решење
Прво налазимо угао   Затим, синусна теорема два пута, даје:   Формула за проверу је   Задатак има јединствено решење ако је  
Задатак ССУ
Дате су две странице a, b и угао А. Наћи страницу с и углове B, C.
Решење
Синусна теорема   даће угао B. Затим, угао С налазимо као суплемент угловима А и B, тј.   На крају, још једном, синусна теорема   даје страницу с. Формула за проверу:  
Када је a>b тада је   па је   Према томе задатак има јединствено решење, јер је угао B оштар независно од тога какав је угао А.
Када је a<b тада је A<B. Троугао је правоугли, или, ако је   задатак има два решења, јер се могу добити две вредности за угао B, оштар и туп угао. Трећи овај случај,   тј.   нема решење.
Када је a=b тада је A<90° и B<90°. Задатак тада има јединствено решење.

Види јошУреди