Teorija Galoa

(преусмерено са Galois theory)

U matematici, teorija Galoa pruža vezu između teorije polja i teorije grupa. Korištenjem teorije Galoa, izvesni problemi u teoriji polja mogu se svesti na teoriju grupa, što je na neki način jednostavnije i lakše razumljivo. Ona je korišćena za rešavanje klasičnih problema, uključujući napor kojim je pokazano da se dva antička problema ne mogu rešiti na način na koji su navedeni (udvostručenje kocke i trisektiranje ugla; treći antički problem, kvadratura kruga, takođe je nerešiv, ali je to pokazano drugim metodima); pokazano je da ne postoji kvintna formula; i pokazano je koji se poligoni mogu konstruisati.

Lattice of subgroups and subfields showing their corresponding Galois groups.
Dijagram rešetke susednih pozitivnih kvadratnih korena od 2 i 3, njihovih potpolja, i grupa Galoa.

Teorija je nazvana po Evaristu Galoa, koji ju je uveo radi proučavanja korena polinoma i karakterizacije polinomskih jednačina koje su rešive radikalima u smislu svojstava permutacijske grupe njihovih korena - jednačina je rešiva radikalima ako se njeni koreni mogu izraziti formulom koja uključuje samo cele brojeve, n-te korene i četiri osnovne aritmetičke operacije.

Ovu teoriju su popularizovali mnogi matematičari i dalje su je razvili Ričard Dedekind, Leopold Kroneker, Emil Artin i drugi koji su permutacijsku grupu korena tumačili kao grupu automorfizma ekstenzije polja.

Teorija Galoa je bila generalizovana do Galoaovih veza i teorije Grotendika Galoa.

Primene na klasične problemeУреди

Nastanak i razvoj teorije Galoa bio je uzrokovan sledećim pitanjem, koje je bilo jedno od glavnih otvorenih matematičkih pitanja do početka 19. veka:

Da li postoji formula za korene polinomske jednačine petog (ili višeg) stepena u smislu koeficijenata polinoma, koristeći samo uobičajene algebarske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje) i primenu radikala (kvadratne korene, kubne korene, etc)?

Abel-Rafinijeva teorema pruža suprotni primer kojim se dokazuje da postoje polinomske jednačine za koje takva formula ne može da postoji. Teorija Galoa daje znatno kompletniji odgovor na ovo pitanje, objašnjavajući zašto je moguće da se reše neke jednačine, uključujući sve one sa stepenom četiri ili manje, u gornjem maniru, i zašto to nije moguće za većinu jednačina stepena pet ili više. Dalje, ona daje konceptualno jasan i lak za transformisanje u algoritam, način da se utvrdi kada se data jednačina višeg stepena može rešiti na taj način.

Teorija Galoa daje jasan uvid u pitanja koja se tiču problema pri konstrukciji lenjirom i šestarom. Ona daje elegantnu karakterizaciju odnosa dužina koji se mogu konstruirati ovom metodom. Koristeći to, postaje relativno lako odgovoriti na klasične probleme geometrije kao su

ReferenceУреди

  1. 1,0 1,1 Stewart, Ian (1989). Galois Theory. Chapman and Hall. ISBN 0-412-34550-1. 

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди