Јангов модул

Јангов модул еластичности или само модул еластичности представља мјеру крутости материјала и једнак је односу вучног напрезања и линијске вучне деформације, у линеарном или еластичном дијелу дијаграма напрезања. Крутост материјала је важна величина при одређивању стабилности и сигурности неке конструкције. Јангов модул еластичности вриједи и за компресиона напрезања код већине материјала:^[1]

E\equiv {\frac {\mbox{vlacno naprezanje}}{\mbox{produzenje}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}

гдје је:

E — Јангов модул еластичности (N/mm²);

F — сила која продужава шипку или штап (N);

A₀ — почетни попречни пресјек шипке или штапа у мировању (mm²);

ΔL — продужење шипке или штапа (m);

L₀ — почетна дужина шипке или штапа (m);

σ — напрезање у шипки или штапу (N/mm²),

ε — однос продужења шипке или штапа и њене дужине (без димензије или ΔL/Lo).

Јангов модул еластичности је назван према британском научнику Томасу Јангу, иако је сам појам развио математичар Леонард Ојлер, а први је експерименте извео Италијан Ђордано Рикати 1782, 25 година прије Томаса Јанга.

Примјена уреди

Јангов модул еластичности може послужити да се израчуна продужење или сужење неког материјала, који је под утицајем неке спољне силе. Да би се тачно одредила промјена обима неког крутог материјала, под утицајем силе, потребно је да се познају и још нека својства материјала, као што је модул смицања G, густина или Пуасонов однос υ.

Хуков закон за еластичне материјале је:

\sigma =E\varepsilon

или

\Delta L={\frac {F}{EA}}L={\frac {\sigma }{E}}L

гдје је: σ — напрезање у шипки или штапу (N/mm²), E — Јангов модул еластичности (N/mm²), ε — однос продужења шипке или штапа и њене дужине (без димензије или ΔL/L), L — дужина штапа, ΔL — продужење шипке или штапа (mm), F — сила која продужава шипку или штап (N), A — попречни пресјек шипке или штапа (mm²)^[2]

Хуков закон вриједи (до границе развлачења) за челик, а може да послужи и за бакар, алуминијум и дрво). За неке друге материјале вриједи потенцијални Хуков закон, који је утврђен на основу прецизних мјерења:^[3]

ε = α_o σⁿ

гдје је: α_o ≈ 1/E, n — за сиви лив n = 1,08 за извлачење и n = 1,04 за притисак; за ливени цинк, гранит, бетон вриједи n = 1,14—1,16; за кожу и ужад од конопље n = 0,7.

Уколико је познат Јангов модул еластичности за неки материјал, може се израчунати сила која дјелује на њега, ако се измјери продужење или сужење материјала:

F={\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}

На основу Хуковог закона и Јанговог модула еластичности може се израчунати и константа опруге k:

F=\left({\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\right)\Delta L=kx

гдје је:

k={\begin{matrix}{\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\end{matrix}}

x=\Delta L

Или потенцијална енергија опруге:

U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}

Односи између еластичних константи уреди

За хомогене изотропне материјале постоји једноставан однос измеду еластичних константи (Јангов модул еластичности E, модул смицања G, укупни модул еластичности K и Пуасонов однос υ):

E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )

Вриједности Јанговог модула еластичности уреди

Јангов модул еластичности се испитује понекад са различитим методима и узорцима за испитивање, па постоје мале разлике у поређењу њихових вриједности.

Приближне вриједности Јанговог модула еластичности за различите материјале^[4]
Материјал	GPa	lbf/in² (psi)
Гума (мале деформације)	0,01—0,1	1.500—15.000
PTFE (Тефлон)	0,5	75.000
Полиетилен мале густине	0,2	30.000
Полиетилен велике густине (HDPE)	0,8
Полипропилен	1,5-2	217.000—290.000
Протеинска љуска вируса (капсида)^[5]	1—3	150.000—435.000
Полиетилентерефталат или Дацрон	2—2,7
Полистирен	3—3,5	435.000—505.000
Најлон	2—4	290.000—580.000
Двоатомне фрустуле (углавном силицијумова киселина)^[6]	0,35—2,77	50.000—400.000
Влакнасти панели средње густине^[7]	4	580.000
Борово дрво (уздуж влакана)	8,963	1.300.000
Храстово дрво (уздуж влакана)	11	1.600.000
Бетон велике чврстине	30	4.350.000
Влакна конопље^[8]	35
Магнезијум метал (Mg)	45	6.500.000
Влакна лана^[9]	58
Алуминијум	69	10.000.000
Влакна коприве^[10]	87
Стакло	50—90
Арамидна влакна^[11]	70,5—112,4
Седеф на шкољкашима (углавном калцијум карбонат)^[12]	70	10.000.000
Зубна глеђ (углавном калцијум фосфат)^[13]	83	12.000.000
Месинг и бронза	100—125	17.000.000
Титанијум (Ti)		16.000.000
Титанијумова једињења	105—120	15.000 000—17.500.000
Бакар (Cu)	117	17.000.000
Стаклоплатика (70/30 тежински, уздуж влакана)	40—45	5.800.000—6.500.000
Полиестерска стаклоплатика^[14]	17,2	2.500.000
Угљеникова стаклоплатика (50/50 тежински, уздуж влакана)	125—150	18.000.000—22.000.000
Угљеникова стаклоплатика (70/30 тежински, уздуж влакана)^[15]	181	26.300.000
Силицијум^[16]	130—185
Ковано гвожђе	190—210
Челик	200	29.000.000
Поликристални итријум-гвоздени гранати (YIG)^[17]	193	28.000.000
Једнокристални итријум-гвоздени гранати (YIG)	200	30.000.000
Берилијум (Be)	287	42.000.000
Молибден (Mo)	329
Волфрам (W)	400—410	58.000.000—59.500.000
Сафир (Al₂O₃) уздуж C-осе	435	63.000.000
Силицијум карбид (SiC)	450	65.000.000
Осмијум (Os)	550	79.800.000
Волфрам карбид (WC)	450—650	65.000.000—94.000.000
Једнозидне угљеникове наноцијеви^[18]^[19]	1000	145.000.000
Графен	1000
Дијамант (C)^[20]	1220	150.000.000—175.000.000

Референце уреди

^ „Конструкцијски елементи И” Архивирано на сајту Wayback Machine (28. фебруар 2017), Технички факултет Ријека, Божидар Крижан и Саша Зеленика, 2011.
^ „Елементи стројева”, Karl-Heinz Decker, Техничка књига Загреб, 1975.
^ „Стројарски приручник”, Бојан Краут, Техничка књига Загреб 2009.
^ engineeringtoolbox.com
^ Проц Нат Ацад Сци УСА., 2004, Ивановска ИЛ, де Пабло ПЈ, Сгалари Г, МацКинтосх ФЦ, Царрасцоса ЈЛ, Сцхмидт ЦФ, Wуите ГЈЛ: "Бацтериопхаге цапсидс: Тоугх наносхеллс wитх цомплеx еластиц пропертиес"
^ Ј Наносци Нанотецхнол., 2005.|Субхасх Г, Yао С, Беллингер Б, Гретз МР.: "Инвестигатион оф мецханицал пропертиес оф диатом фрустулес усинг наноиндентатион"
^ „МДФ Материал Пропертиес Дата: Медиум Денситy Фибербоард (МДФ)”
^ Наби Сахеб D., Јог Ј. П.: "Натурал фибре полyмер цомпоситес: а ревиеw", Адванцес ин Полyмер Тецхнологy, 1999.
^ Бодрос Е.: "Аналyсис оф тхе флаx фибрес тенсиле бехавиоур анд аналyсис оф тхе тенсиле стиффнесс инцреасе", Цомпосите Парт А, 2002.
^ Бодрос Е., Балеy C.: "Студy оф тхе тенсиле пропертиес оф стингинг неттле фибрес (Уртица диоица)", Материалс Леттерс, 2008.
^ ДуПонт: "Кевлар Тецхницал Гуиде", 2001.
^ Јацксон, А. П.; Винцент, Ј. Ф. V.; Турнер, Р. M. (1988). „Тхе мецханицал десигн оф нацре”. Процеедингс оф тхе Роyал Социетy оф Лондон. Сериес Б. Биологицал Сциенцес. 234 (1277): 415—440. Бибцоде:1988РСПСБ.234..415Ј. С2ЦИД 135544277. дои:10.1098/рспб.1988.0056.
^ Јоурнал оф Материалс Сциенце, 1981, "Спхерицал индентатион оф тоотх енамел" M. Стаинес, W. Х. Робинсон анд Ј. А. А. Хоод [1]^{[мртва веза]}
^ Полyестер Матриx Цомпосите реинфорцед бy гласс фиберс (Фибергласс). СубсТецх, 2008.
^ Епоxy Матриx Цомпосите реинфорцед бy 70% царбон фиберс [СубсТецх]. Субстецх.цом, 2006.
^ Пхyсицал пропертиес оф Силицон (Си) Иоффе Институте Датабасе, 2011.
^ Цхоу Х. M., Цасе Е. D.: "Цхарацтеризатион оф соме мецханицал пропертиес оф полyцрyсталлине yттриум ирон гарнет (YИГ) бy нон-деструцтиве метходс", јоурнал = Јоурнал оф Материалс Сциенце Леттерс, 1988.
^ [2] Архивирано на сајту Wayback Machine (29. октобар 2005) "Елецтрониц анд мецханицал пропертиес оф царбон нанотубес", L. Форро
^ Y.Х.Yанг, Апплиед Пхyсицс Леттерс, 2011, "Радиал еластицитy оф сингле-wаллед царбон нанотубе меасуред бy атомиц форце мицросцопy"
^ "Сyнтхетиц Диамонд — Емергинг ЦВД Сциенце анд Тецхнологy" Спеар анд Дисмукес, публисхер=Wилеy, НY, 1994.

Литература уреди

АСТМ Е 111, "Стандард Тест Метход фор Yоунг'с Модулус, Тангент Модулус, анд Цхорд Модулус"
Тхе АСМ Хандбоок (вариоус волумес) цонтаинс Yоунг'с Модулус фор вариоус материалс анд информатион он цалцулатионс. Онлине версион

Спољашње везе уреди

[1] „Конструкцијски елементи И” Архивирано на сајту Wayback Machine (28. фебруар 2017), Технички факултет Ријека, Божидар Крижан и Саша Зеленика, 2011.

[2] „Елементи стројева”, Karl-Heinz Decker, Техничка књига Загреб, 1975.

[3] „Стројарски приручник”, Бојан Краут, Техничка књига Загреб 2009.

[4] ringtoolbox.com

[5] Проц Нат Ацад Сци УСА., 2004, Ивановска ИЛ, де Пабло ПЈ, Сгалари Г, МацКинтосх ФЦ, Царрасцоса ЈЛ, Сцхмидт ЦФ, Wуите ГЈЛ: "Бацтериопхаге цапсидс: Тоугх наносхеллс wитх цомплеx еластиц пропертиес"

[6] Ј Наносци Нанотецхнол., 2005.|Субхасх Г, Yао С, Беллингер Б, Гретз МР.: "Инвестигатион оф мецханицал пропертиес оф диатом фрустулес усинг наноиндентатион"

[7] „МДФ Материал Пропертиес Дата: Медиум Денситy Фибербоард (МДФ)”

[8] Наби Сахеб D., Јог Ј. П.: "Натурал фибре полyмер цомпоситес: а ревиеw", Адванцес ин Полyмер Тецхнологy, 1999.

[9] Бодрос Е.: "Аналyсис оф тхе флаx фибрес тенсиле бехавиоур анд аналyсис оф тхе тенсиле стиффнесс инцреасе", Цомпосите Парт А, 2002.

[10] Бодрос Е., Балеy C.: "Студy оф тхе тенсиле пропертиес оф стингинг неттле фибрес (Уртица диоица)", Материалс Леттерс, 2008.

[11] ДуПонт: "Кевлар Тецхницал Гуиде", 2001.

[12] Јацксон, А. П.; Винцент, Ј. Ф. V.; Турнер, Р. M. (1988). „Тхе мецханицал десигн оф нацре”. Процеедингс оф тхе Роyал Социетy оф Лондон. Сериес Б. Биологицал Сциенцес. 234 (1277): 415—440. Бибцоде:1988РСПСБ.234..415Ј. С2ЦИД 135544277. дои:10.1098/рспб.1988.0056.

[13] Јоурнал оф Материалс Сциенце, 1981, "Спхерицал индентатион оф тоотх енамел" M. Стаинес, W. Х. Робинсон анд Ј. А. А. Хоод [1]^{[мртва веза]}

[14] Полyестер Матриx Цомпосите реинфорцед бy гласс фиберс (Фибергласс). СубсТецх, 2008.

[15] Епоxy Матриx Цомпосите реинфорцед бy 70% царбон фиберс [СубсТецх]. Субстецх.цом, 2006.

[16] Пхyсицал пропертиес оф Силицон (Си) Иоффе Институте Датабасе, 2011.

[17] Цхоу Х. M., Цасе Е. D.: "Цхарацтеризатион оф соме мецханицал пропертиес оф полyцрyсталлине yттриум ирон гарнет (YИГ) бy нон-деструцтиве метходс", јоурнал = Јоурнал оф Материалс Сциенце Леттерс, 1988.

[18] [2] Архивирано на сајту Wayback Machine (29. октобар 2005) "Елецтрониц анд мецханицал пропертиес оф царбон нанотубес", L. Форро

[19] Y.Х.Yанг, Апплиед Пхyсицс Леттерс, 2011, "Радиал еластицитy оф сингле-wаллед царбон нанотубе меасуред бy атомиц форце мицросцопy"

[20] "Сyнтхетиц Диамонд — Емергинг ЦВД Сциенце анд Тецхнологy" Спеар анд Дисмукес, публисхер=Wилеy, НY, 1994.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]