Корисник:ММ2114/песак

Користећи алгебарске идентитете

Ову методу су користили разни математичари кроз историју:

Нека корени стандардне квадратне једначине буду р₁ и р₂. Извођење почиње поновним позивањем идентитета:

$(r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}.$

Кореновањем обе стране добијамо:

$r_{1}-r_{2}={\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}}}.$

Пошто је коефицијент а ≠ 0, можемо поделити стандардну једначину са а да би добили квадратни полином са истим коренима. Наиме,

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-r_{1})(x-r_{2})=x^{2}-(r_{1}+r_{2})x+r_{1}r_{2}\ \ .$

Из овога се види да је збир корена стандардне квадратне једначине добијен преко −б/а, а производ преко ц/а. Стога се идентитет може преписати као:

$r_{1}-r_{2}=\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}\ \ .$

Сада,

$r_{1}={\frac {(r_{1}+r_{2})+(r_{1}-r_{2})}{2}}={\frac {-{\frac {b}{a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}{2}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Пошто је р₂ = −р₁ − б/а, ако узмемо да је

$r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

онда добијемо да је

$r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},$

а ако узмемо да је

$r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

онда добијемо да је

$r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Комбиновањем ових резултата користећи скраћеницу ±, добијемо да су решења квадратне једначине дата помоћу:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Користећи Лагранжове ресолвенте

Алтернативни начин извођења квадратних формула је преко Лагранжових ресолвената, који су рани део Галове теорије. Ова метода може бити генерализована ради добијања корена кубних полинома и функција четвртог степена и води до Галове теорије, која омогућава разумевање решења алгебарске једначине било ког степена у погледу група симетрија њихових корена, Галове групе. Овај приступ више се фокусира на корене него на преуређивање оригиналне једначине. Дат је квадратни полином

$x^{2}+px+q\ \ ,$

претпостави да је

$x^{2}+px+q=(x-\alpha )(x-\beta )\ \ ,$

Проширење се поништава

$x^{2}+px+q=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \ \ ,$

где су п = −(α + β) и q = αβ.

Пошто редослед множења није битан, α и β се могу мењати, а да се вредности п и q не мењају: може се рећи да су п и q симетрични полиноми у α и β. Заправо, они су основни симетрични полиноми - било који симетрични полином у α и β може бити изражен преко α+β и αβ. Приступ Галове теорије анализирању и решавању полинома је: узимајући у обзир коефицијенте полинома, које су симетричне функиције у коренима, може ли се "сломити симетрија" и обновити корен? Тако је решавање полинома степена н повезано са начинима преуређивања ("пермутовања") н термина, који се назива симетрична група на н слова, и означава С_н. За квадратни полином, једини начин да се преуреде два термина је да се они замене ("транспонују"), и тако решавање квадратног полинома је једноставно.

Да би нашао корене α и β, узми у обзир њихов збир и разлику:

${\begin{aligned}r_{1}&=\alpha +\beta \\r_{2}&=\alpha -\beta \ \ .\end{aligned}}$

То се назива Лагранжовим ресолвентима полинома; приметите да једна од ових зависи од реда корена, што је кључна тачка. Корени из ресолвената може се опоравити инвертовањем горњих једначина:

${\begin{aligned}\alpha &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}+r_{2}\right)\\\beta &=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(r_{1}-r_{2}\right)\ \ .\end{aligned}}$

Тиме, решавање ресолвентима даје оригиналне корене.

Сад је р₁ = α + β симетрична функција у α и β, те може бити изражена преко п и q, и заправо р₁ = −п као што је горе наведено. Али р₂ = α − β није симетрично јер замењивањем α и β поништава се −р₂ = β − α . Пошто р₂ није симетрично, не може бити представљено преко коефицијената п и q, јер су они симетрични у корену и тиме је и сваки полиномски израз који укључује њих. Мењање реда корена мења само р₂ за -1 и тиме је р₂² = (α − β)² симетрична у корену и може се изразити преко п и q. Користећи једначину

$(\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta \$

поништава

$r_{2}^{2}=p^{2}-4q\ \$

и тиме је

$r_{2}=\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\ \$

Ако се узме позитивни корен,ломи се симетрија и добија се:

${\begin{aligned}r_{1}&=-p\\r_{2}&={\sqrt {p^{2}-4q}}\end{aligned}}$

и тиме је

${\begin{aligned}\alpha &={\tfrac {1}{2}}\left(-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\\beta &={\tfrac {1}{2}}\left(-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\ \ .\end{aligned}}$

Што значи да су корени

$\textstyle {\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)$

што је квадратна формула. Мењањем п = б/а, q = ц/а поништава се уобичајена форма.Ресолвенти се могу препознати као

р₁/2 = −п/2 = −б/2а која је вертекс, и р₂² = п² − 4q која је дискриминанта

.Сличан, али сложенији метод функционише за кубне једначине, где једна има три резолвенте и квадратну једначину ("решавајући полином") која се односи на р₂ и р₃, што се може решити квадратном једначином, а слично за квартичку једначину (степен 4) ), чије је решавање полинома кубно, што може бити решено. Иста метода за квинтичку једначину даје полином степена 24, што не поједностављује проблем, и, у ствари, решења квинтичких једначина уопште се не могу изразити користећи само корене.

Преко екстрема

Познавање вредности x у функционалној екстремној тачки омогућава да се реши само за повећање (или смањење) потребно у x да се реши квадратна једначина. Ова метода прво користи диференцијацију да би нашла x_еxт тј. x у екстремној тачки.Затим решавамо за вредност x, која осигурава да јеф(x_еxт + q) = 0. Иако то можда није најинтуитивнији метод, осигурава да је математика јасна.

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial x}}&=2ax+b\ \ .\end{aligned}}$

Постављање горњег диференцијала на нулу даје нам екстреме квадратне функције

$x_{\text{ext}}={\frac {-b}{2a}}\ \ .$

Дефинишемо q као:

$q=x_{0}-x_{\text{ext}}\ \ ,$

Овде је x₀ вредност x која решава квадратну једначину. Збир x_еxт и q је убачена у квадратну једначину

${\begin{aligned}a\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)^{2}+b\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)+c&=0\\[5pt]\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)^{2}+{\frac {b}{a}}\left({\frac {-b}{2a}}+q\right)+{\frac {c}{a}}&=0&&(a\neq 0)\\[5pt]{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+q^{2}-{\frac {bq}{a}}-{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}+{\frac {bq}{a}}+{\frac {c}{a}}&=0\\[5pt]{\frac {-b^{2}}{4a^{2}}}+q^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\[5pt]q^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\[5pt]q&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .\end{aligned}}$

Вредност x_еxт се затим додаје на обе стране једначине

$x_{0}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \ .$

Ово даје квадратну формулу. На овај начин се избегава техника комплетирања квадрата и много сложенија математика није потребна. Имајте на уму да је ово решење веома слично решавању које добија формулу супституцијом.

Поделом на реалне и имагинарне делове

Узмимо да је једначина

$az^{2}+bz+c=0$

где је $z=x+iy$комплексан број и где су а,б и ц су прави бројеви. Онда

${\begin{aligned}a(x+iy)^{2}+b(x+iy)+c&=0\ \ ,\ \ a(x^{2}-y^{2}+i2xy)+b(x+iy)+c=0\ \ .\end{aligned}}$

Ово се дели на две једначине. Реални део:

$a(x^{2}-y^{2})+bx+c=0$

и имагинарни део:

$2axy+by=0\ \ .$

Претпоставити да је $y\neq 0$те поделити другу једначину са y:

$2ax+b=0$

и решити за x:

$x={-b \over 2a}\ \ .$

Заменити ову вредност x у првој једначини и решити за y:

${\begin{aligned}a{\Big (}{b^{2} \over 4a^{2}}-y^{2}{\Big )}-{b^{2} \over 2a}+c&=0\\{b^{2} \over 4a}-ay^{2}-{2b^{2} \over 4a}+c&=0\\{-b^{2} \over 4a}-ay^{2}+c&=0\\ay^{2}+{b^{2} \over 4a}-c&=0\\y^{2}&={c \over a}-{b^{2} \over 4a^{2}}\\y&=\pm {\sqrt {{c \over a}-{b^{2} \over 4a^{2}}}}={\pm {\sqrt {ca-{b^{2} \over 4}}} \over a}={\pm {\sqrt {4ca-b^{2}}} \over 2a}\ \ .\end{aligned}}$

Пошто је $z=x+iy$, онда

${\begin{aligned}z&={-b \over 2a}\pm {i{\sqrt {4ac-b^{2}}} \over 2a}\\[5pt]z&={-b \over 2a}\pm {{\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}\ \ .\end{aligned}}$

Иако y не би требало да буде 0, последња формула се може користити за било који корен оригиналне једначине, претпостављајући да је $y=0$ није од велике помоћи.

Историјски развој

Најраније методе за решавање квадратних једначина биле су геометријске. Вавилонске клинасте таблице садрже проблеме који се могу свести на решавање квадратних једначина. Египатски Берлин Папирус, који датира још из Средњег краљевства (2050. пне. До 1650. пне), садржи решење за двосмерну квадратну једначину.

Елемената утицајне математичке студије. Правила за квадратне једначине појављују се у кинеских Девет поглавља о математичкој уметности око 200.

Еуклид у Атинској школи

године пре нове ере. У свом раду Аритхметица, грчки математичар Диофант (отприлике 250 пне) решавао је квадратне једначине методом која је више препознатљива алгебарска од геометријске алгебре Еуклида. Његово решење даје само један корен, чак и када су оба корена позитивна.

Индијски математичар Брахмагупта (597–668 АД) експлицитно је описао квадратну формулу у својој расправи Брахмаспхутасиддханта објављену 628. године, али написану речима умјесто симболима. Његово решење квадратне једначине аx² + бx = ц било је следеће: "На апсолутни број помножен четири пута [коефицијентом] квадрата, додајте квадрат [коефицијента] средњег члана, квадратни корен истог, без [коефицијента] средњег члана, подељен двоструким [коефицијентом] квадрата је вредност. Ово је еквивалентно:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .$

Перзијски математичар из 9. века Мумаммад ибн Муса ал-Кхваризми решио је квадратне једначине алгебарски. Квадратну формулу која покрива све случајеве први пут је добио Симон Стевин 1594. године

Године 1637. Рене Декарт је објавио Ла Геометрие који садржи посебне случајеве квадратне формуле у форми коју данас познајемо.Прво појављивање општег решења у модерној математичкој литератури појавило се у издању Хенрија Хитона из 1896. године.