Општи логаритми уреди

График општег логаритма бројева од 0.1 до 100.

У математици, општи логаритам је логаритам са базом 10. ^[1] Познат је и као декадни логаритам и као децимални логаритам, назван по својој бази, или Бригсијев логаритам, после Хенрија Бригса, енглеског математичара који је увео његову употребу, као и стандардни логаритам. Историјски, био је познат као логаритхмус децималис ^[2] или логаритхмус децадис. ^[3] Означен је са лог₁₀(x), или понекад са Лог(x) са главним L (међутим, ова нотација је двосмислена, јер може значити и комплексну природну логаритамску вишеструку функцију). На калкулаторима је обично "лог", али математичари обично мисле на природни логаритам (логаритам са базом е ≈ 2.71828), а не на општи логаритам када пишу "лог". Да би се ублажила ова двосмисленост, спецификација ИСО 80000 препоручује да лог₁₀(x) буде означен као лг(x), а лог_е(x) треба да буде као лн(x).

Коришћење уреди

Страница из табеле уобичајених логаритама. Ова страница приказује логаритме за бројеве од 1000 до 1500 до пет децималних места. Комплетна табела обухвата вредности до 9999

Пре раних 1970тих, ручни електронски калкулатори нису били доступни и механички калкулатори који су били способни за множење били су гломазни, скупи и нису били широко доступни. Уместо тога, табеле логаритама са основом-10 су коришћене у науци, инжењерству и навигацији када су прорачуни захтијевали већу прецизност него што би се могло постићи помоћу клизног правила. Коришћењем логаритама избегнуто је мукотрпно и погрешно умножавање папира и оловака и подела. Пошто су логаритми били тако корисни, табеле са основом-10 логаритама су дате у прилозима многих уџбеника. Математички и навигациони приручници садрже и табеле логаритама тригонометријских функција.^[4] Погледајте лог табелу за историју таквих табела.

Важно својство логаритама са основом-10, што их чини тако корисним у калкулацијама, је да логаритам бројева већег од 1 који се разликују за фактор снаге од 10 имају исти фракцијски део. Фракциони део је познат као мантиса^{[ноте 1]}. Стога лог табеле морају само показати фракцијски део. Табеле заједничких логаритама типично наводе мантису, на четири или пет децималних места или више, сваког броја у опсегу, нпр. 1000 до 9999. Такав опсег би покривао све могуће вредности мантисе.

Целобројни део, који се назива карактеристика, може се израчунати тако што се броји колико места децималну тачку треба померити тако да се налази десно од прве значајне цифре. На пример, логаритам од 120 дат је следећим прорачуном:

\log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.

Последњи број (0.07918) - фракцијски део или мантиса заједничког логаритма 120 - може се наћи у приказаној табели. Локација децималне тачке у 120 говори нам да је целобројни део заједничког логаритма од 120, карактеристика, 2.Бројеви већи од 0 и мањи од 1 имају негативне логаритме. На пример,

\log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.

Да би се избегла потреба за одвојеним табелама за конвертовање позитивних и негативних логаритама назад у њихове првобитне бројеве, користи се ознака бара:

\log _{10}(0.012)\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918.

Шипка изнад карактеристике показује да је негативна, док мантиса остаје позитивна. Приликом очитавања броја на глас, симбол "бар 2 тачка 07918…".

Следећи пример користи нотацију бара за израчунавање 0.012 × 0.85 = 0.0102:

{\begin{array}{rll}{\text{Kao što je gore navedeno,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Kada je}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}

*Овај корак чини мантису између 0 и 1, тако да се његов антилог (10^мантисса) може погледати.

Следећа табела показује како се иста мантиса може користити за распон бројева који се разликују по моћима од десет:

Заједнички логаритам, карактеристика и мантиса моћи од 10 пута број
Број	Логаритам	Карактеристика	Мантиса	Цомбинед форм
н = 5 × 10^и	лог₁₀(н)	и = флоор(лог₁₀(н))	лог₁₀(н) − и
5 000 000	6.698 970…	6	0.698 970…	6.698 970…
50	1.698 970…	1	0.698 970…	1.698 970…
5	0.698 970…	0	0.698 970…	0.698 970…
0.5	−0.301 029…	−1	0.698 970…	1.698 970…
0.000 005	−5.301 029…	−6	0.698 970…	6.698 970…

Имајте на уму да је мантиса заједничка за све $5\times 10^{i}$ ово важи за било који позитиван реални број $x$ због

\log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.

Пошто је и $i$ увек цео број, мантасиа долази од $\log _{10}(x)$ , која је константна за дати . Ово омогућава табели логаритама да укључе само један унос за сваку мантису. У примјеру $5\times 10^{i}$ , 0.698 970 (004 336 018…) ће бити пописани једном индексирани са 5 (или 0.5, или 500, итд.).

Историја уреди

Општи логаритми се понекад називају и "Бригсијановим логаритмима" након Хенрија Бригса, британског математичара из 17. века. 1616. и 1617. године, Бригс је посетио Џона Непера, проналазача онога што се сада зове природни (база-е) логаритми у Единбургу, како би предложили промену у Неперовим логаритмима. Током ових конференција договорена је измена коју је предложио Бригс; а након повратка из друге посете, објавио је првих 1000 својих логаритама.

Пошто су логаритми са базом 10 били најкориснији за рачунање, инжењери су углавном писали " $\log(x)$ " када су мислили на $\log _{10}(x)$ . Математичари су, с друге стране, писали " $\log(x)$ " када су мислили на $\log _{e}(x)$ за природни логаритам. Данас се налазе обе ознаке. Пошто су ручни електронски калкулатори пројектовани од стране инжењера, а не математичара, постало је уобичајено да прате ознаке инжењера. Дакле, нотација, према којој се пише "лн(x)" када је природни логаритам намењен, можда је даље популаризована самим проналаском који је користио "опште логаритме" далеко мање уобичајене, електронске калкулаторе.

Нумеричка вредност уреди

Нумеричка вредност за логаритам на базу 10 може се израчунати са следећим идентитетом.

Дугмићи за логаритам(лог за базу-10 и лн за базу-е) на типичном научном калкулатору. Појава ручних калкулатора увелико је елиминисала употребу општих логаритама као помоћ у израчунавању.

$\log _{10}(x)={ln(x) \over ln(10)}$ или $\log _{10}(x)={\log _{2}(x) \over \log _{2}(10)}$

јер процедуре постоје за одређивање нумеричке вредности за логаритамску основу е и логаритамску основу 2.

Природни логаритам

логаритам

Видите још уреди

Цологаритам

Децибел

Историја логаритма

Лог таблица

Број са помичним зарезом

Напомене уреди

^ Тхис усе оф тхе wорд мантисса стемс фром ан олдер, нон-нумерицал, меанинг: а минор аддитион ор супплемент, е.г., то а теxт. Ноwадаyс, тхе wорд мантисса ис генераллy усед то десцрибе тхе фрацтионал парт оф а флоатинг-поинт нумбер он цомпутерс, тхоугх тхе рецоммендед терм ис сигнифицанд.

Референце уреди

^ Халл, Артхур Грахам; Фринк, Фред Гоодрицх (јануар 1909). „Цхаптер IV. Логаритхмс [23] Цоммон логаритхмс”. Написано на Анн Арбор, Мицхиган, УСА. Тригонометрy. Парт I: Плане Тригонометрy. Неw Yорк, УСА: Хенрy Холт анд Цомпанy / Норwоод Пресс / Ј. С. Цусхинг Цо. - Берwицк & Смитх Цо., Норwоод, Массацхусеттс, УСА. стр. 31. Приступљено 2017-08-12.
^ Еулер, Леонхард; Спеисер, Андреас; ду Пасqуиер, Лоуис Густаве; Брандт, Хеинрицх; Трост, Ернст (1945) [1748]. Спеисер, Андреас, ур. Интродуцтио ин Аналyсин Инфиниторум (Парт 2). Опера Омниа, Опера Матхематица. 1 (на језику: Латин). 9. Б.Г. Теубнер.
^ Сцхерффер, П. Цароло (1772). Институтионум Аналyтицарум Парс Сецунда де Цалцуло Инфинитесимали Либер Сецундус де Цалцуло Интеграли (на језику: Латин). 2. Јоаннис Тхомæ Ноб. Де Траттнерн. стр. 198.
^ Хедрицк, Еарле Раyмонд (1913). Логаритхмиц анд Тригонометриц Таблес. Неw Yорк, УСА: Мацмиллан.

Абрамоwитз, Милтон; Стегун, Ирене Анн (1983) [Јуне 1964]. Хандбоок оф Матхематицал Фунцтионс wитх Формулас, Грапхс, анд Матхематицал Таблес. Апплиед Матхематицс Сериес 55 (Нинтх репринт wитх аддитионал цоррецтионс оф тентх оригинал принтинг wитх цоррецтионс (Децембер 1972); фирст ед.). Wасхингтон D.C.; Неw Yорк: Унитед Статес Департмент оф Цоммерце, Натионал Буреау оф Стандардс; Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-61272-0. ЛЦЦН 65-12253.
Мöсер, Мицхаел (2009). Енгинееринг Ацоустицс: Ан Интродуцтион то Ноисе Цонтрол. Спрингер. стр. 448. ИСБН 978-3-540-92722-8.
Полиyанин, Андреи Дмитриевицх; Манзхиров, Алеxандер Владимировицх (2007) [2006-11-27]. Хандбоок оф матхематицс фор енгинеерс анд сциентистс. ЦРЦ Пресс. стр. 9. ИСБН 978-1-58488-502-3.

Екстерни линкови уреди

„Бриггсиан логаритхмс”. ПланетМатх. инцлудес а детаилед еxампле оф усинг логаритхм таблес

[5] Тхис усе оф тхе wорд мантисса стемс фром ан олдер, нон-нумерицал, меанинг: а минор аддитион ор супплемент, е.г., то а теxт. Ноwадаyс, тхе wорд мантисса ис генераллy усед то десцрибе тхе фрацтионал парт оф а флоатинг-поинт нумбер он цомпутерс, тхоугх тхе рецоммендед терм ис сигнифицанд.

[Hall_1909-1] Халл, Артхур Грахам; Фринк, Фред Гоодрицх (јануар 1909). „Цхаптер IV. Логаритхмс [23] Цоммон логаритхмс”. Написано на Анн Арбор, Мицхиган, УСА. Тригонометрy. Парт I: Плане Тригонометрy. Неw Yорк, УСА: Хенрy Холт анд Цомпанy / Норwоод Пресс / Ј. С. Цусхинг Цо. - Берwицк & Смитх Цо., Норwоод, Массацхусеттс, УСА. стр. 31. Приступљено 2017-08-12.

[Euler_1748-2] Еулер, Леонхард; Спеисер, Андреас; ду Пасqуиер, Лоуис Густаве; Брандт, Хеинрицх; Трост, Ернст (1945) [1748]. Спеисер, Андреас, ур. Интродуцтио ин Аналyсин Инфиниторум (Парт 2). Опера Омниа, Опера Матхематица. 1 (на језику: Латин). 9. Б.Г. Теубнер.

[Scherffer_1772-3] Сцхерффер, П. Цароло (1772). Институтионум Аналyтицарум Парс Сецунда де Цалцуло Инфинитесимали Либер Сецундус де Цалцуло Интеграли (на језику: Латин). 2. Јоаннис Тхомæ Ноб. Де Траттнерн. стр. 198.

[Hedrick_1913-4] Хедрицк, Еарле Раyмонд (1913). Логаритхмиц анд Тригонометриц Таблес. Неw Yорк, УСА: Мацмиллан.

[1]

[2]

[3]

[4]

[ноте 1]

Корисник:ТВ2714/песак

Садржај