Алгебарски варијетети

Алгебарски варијетети су централни објекти изучавања у алгебарској геометрији.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] Класично, алгебарски варијетет је дефинисан као скуп решења система полиномских једначина над реалним или комплексним бројевима.^[6]^[7]^[8] Савремене дефиниције генералишу овај концепт на неколико различитих начина, покушавајући да сачувају геометријску интуицију иза првобитне дефиниције.^[9]^:58

Конвенције о дефиницији алгебарског варијетета незнатно се разликују. На пример, неке дефиниције захтевају да је алгебарски варијетет нередуктиван, што значи да није унија два мања скупа која су затворена у Зарисковој топологији. Под овом дефиницијом, алгебарски варијетети који се могу редуковати називају се алгебарске групе. Друге конвенције не захтевају нередуктивност.

Фундаментална теорема алгебре успоставља везу између алгебре и геометрије, показујући да је монски полином (алгебарски објекат) у једној променљивој са комплексним бројевима као коефицијенатима одређен сетом његових корена (геометријски објект) у комплексној равни. Генерализирајући овај резултат, Хилбертова теорема нула даје фундаменталну кореспонденцију између идеала полиномских прстенова и алгебарских скупова. Користећи теорему нула и сродне резултате, математичари су успоставили чврсту кореспонденцију између питања о алгебарским скуповима и питања теорије прстена. Ова кореспонденција је дефинишућа карактеристика алгебарске геометрије.^[10] ^[11]^[12]

Многи алгебарски варијетети су многострукости, али алгебарски варијетет може да има сингуларне тачке док многострукост не може. Алгебарски варијетети се могу карактерисати њиховом димензијом. Алгебарски варијетети димензије један се називају алгебарским кривама, а алгебарски варијетети димензије два се називају алгебарским површима.

Преглед и дефиниције уреди

Афини варијетет над алгебарски затвореним пољем је концептуално најлакши тип варијетета за дефинисање, што ће бити урађено у овом одељку. Даље, на сличан начин се могу дефинисати пројективни и квазипројективни варијетети. Најопштија дефиниција варијетета се добија спајањем мањих квазипројективних варијетета. Није очигледно да се на овај начин могу конструисати истински нови примери варијетета, мада је Нагата је дао пример таквог новог варијетета током 1950-их.

Афини варијетети уреди

За алгебарски затворено поље $К$ и природан број $н$ , нека је $А н$ афини $н$ -простор над $К$ , идентификован са $K^{n}$ избором афиног координатног система. Полиноми $ф$ у прстену $К [x 1, ..., x н]$ се могу посматрати као функције са К-вредношти на $А н$ проценом $ф$ у тачкама у $А н$ , тј. одабиром вредности у К за свако x_и. За сваки скуп С полинома у $К [x 1, ..., x н]$ , дефинисати нулти локус З(С) као скуп тачака у $А н$ на којима функције у С истовремено нестају, тј.

Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.

Подскуп V од $А н$ се назива афиним алгебарским скупом ако је V = З(С) за неки С.^[9]^:2 Непразан афини алгебарски скуп V назива се несводљивим ако се не може записати као унија два права алгебарска подскупа.^[9]^:3 Несводљиви афини алгебарски скуп се такође назива афина варијанта.^[9]^:3 (Неки аутори користе фразу афини варијетет која се односи на било који афини алгебарски скуп, несводљив или не.^{[ноте 1]})

Афиним варијететима може се дати природна топологија тако што ће се затворени скупови прогласити управо афиним алгебарским скуповима. Ова топологија се назива топологија Зариског.^[9]^:2

С обзиром на подскуп V од $А н$ , дефинишемо I(V) као идеал свих полиномских функција које нестају на V:

I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.

За било који афини алгебарски скуп V, координатни прстен или структурни прстен од V је количник полиномског прстена према овом идеалу.^[9]^:4

Напомене уреди

^ Хартсхорне, п.xв, Харрис, п.3

Референце уреди

^ „Цомплеxитy оф Алгоритхмс”. www.цс.сфу.ца. Приступљено 2022-07-12.
^ Молланд, А. Г (1976-02-01). „Схифтинг тхе фоундатионс: Десцартес'с трансформатион оф анциент геометрy”. Хисториа Матхематица (на језику: енглески). 3 (1): 21—49. ИССН 0315-0860. дои:10.1016/0315-0860(76)90004-5  .
^ „Аполлониус - Биограпхy”. Матхс Хисторy (на језику: енглески). Приступљено 2022-11-11.
^ M., Г. Б. (август 1896). „Аполлониус оф Перга: Треатисе он Цониц Сецтионс”. Натуре (на језику: енглески). 54 (1397): 314—315. Бибцоде:1896Натур..54..314Г. ИССН 1476-4687. С2ЦИД 4059946. дои:10.1038/054314а0.
^ Унгуру, Сабетаи (јун 1976). „А Верy Еарлy Ацqуаинтанце wитх Аполлониус оф Перга'с Треатисе он Цониц Сецтионс ин тхе Латин Wест”. Центаурус (на језику: енглески). 20 (2): 112—128. Бибцоде:1976Цент...20..112У. ИССН 0008-8994. дои:10.1111/ј.1600-0498.1976.тб00924.x.
^ Аубрy, П.; Маза, M. Морено (1999). „Триангулар Сетс фор Солвинг Полyномиал Сyстемс: а Цомпаративе Имплементатион оф Фоур Метходс”. Ј. Сyмб. Цомпут. 28 (1–2): 125—154. дои:10.1006/јсцо.1999.0270  .
^ Фаугèре, Ј.C.; Гианни, П.; Лазард, D.; Мора, Т. (1993). „Еффициент Цомпутатион оф Зеро-Дименсионал Грöбнер Басис бy Цханге оф Ордеринг”. Јоурнал оф Сyмболиц Цомпутатион. 16 (4): 329—344. дои:10.1006/јсцо.1993.1051  .
^ Лазард, D. (1992). „Солвинг зеро-дименсионал алгебраиц сyстемс”. Јоурнал оф Сyмболиц Цомпутатион. 13 (2): 117—131. дои:10.1016/С0747-7171(08)80086-7  .
^ ^а ^б ^в ^г ^д ^ђ Хартсхорне, Робин (1977). Алгебраиц Геометрy. Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-90244-9.
^ О'Цоннор, Ј. Ј.; Робертсон, Е. Ф. „Омар Кхаyyам”. Сцхоол оф Матхематицс анд Статистицс, Университy оф Ст Андреwс. Архивирано из оригинала 12. 11. 2017. г. „Кхаyyам химселф сеемс то хаве беен тхе фирст то цонцеиве а генерал тхеорy оф цубиц еqуатионс.”
^ Расхед, Росхди (1994). Тхе Девелопмент Оф Арабиц Матхематицс Бетwеен Аритхметиц Анд Алгебра. Спрингер. стр. 102—103.
^ Оакс, Јеффреy (јануар 2016). „Еxцаватинг тхе еррорс ин тхе "Матхематицс" цхаптер оф 1001 Инвентионс”. Пп. 151-171 ин: Соња Брентјес, Танер Едис, Лутз Рицхтер-Бернбурд Едд., 1001 Дистортионс: Хоw (Нот) то Наррате Хисторy оф Сциенце, Медицине, анд Тецхнологy ин Нон-Wестерн Цултурес. Архивирано из оригинала 2021-02-27. г.

Литература уреди

Харрис, Јое (1992). Алгебраиц Геометрy - А фирст цоурсе. Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-97716-3.
Нагата, Масаyосхи (1956), „Он тхе имбеддинг проблем оф абстрацт вариетиес ин пројецтиве вариетиес”, Мемоирс оф тхе Цоллеге оф Сциенце, Университy оф Кyото. Сериес А: Матхематицс, 30: 71—82, МР 0088035
Нагата, Масаyосхи (1957), „Он тхе имбеддингс оф абстрацт сурфацес ин пројецтиве вариетиес”, Мемоирс оф тхе Цоллеге оф Сциенце, Университy оф Кyото. Сериес А: Матхематицс, 30: 231—235, МР 0094358
Цоx, Давид; Јохн Литтле; Дон О'Схеа (1997). Идеалс, Вариетиес, анд Алгоритхмс (сецонд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-94680-2.
Еисенбуд, Давид (1999). Цоммутативе Алгебра wитх а Виеw Тоwард Алгебраиц Геометрy. Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-94269-6.
ван дер Wаерден, Б. L. (1945). Еинфуехрунг ин дие алгебраисцхе Геометрие. Довер.
Ходге, W. V. D.; Педое, Даниел (1994). Метходс оф Алгебраиц Геометрy Волуме 1. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-46900-5. Збл 0796.14001.
Ходге, W. V. D.; Педое, Даниел (1994). Метходс оф Алгебраиц Геометрy Волуме 2. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-46901-2. Збл 0796.14002.
Ходге, W. V. D.; Педое, Даниел (1994). Метходс оф Алгебраиц Геометрy Волуме 3. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-46775-9. Збл 0796.14003.
Гарритy, Тхомас; et al. (2013). Алгебраиц Геометрy А Проблем Солвинг Аппроацх. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-821-89396-8.
Гриффитхс, Пхиллип; Харрис, Јое (1994). Принциплес оф Алгебраиц Геометрy. Wилеy-Интерсциенце. ИСБН 978-0-471-05059-9. Збл 0836.14001.
Мумфорд, Давид (1995). Алгебраиц Геометрy I Цомплеx Пројецтиве Вариетиес (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-540-58657-9. Збл 0821.14001.
Реид, Милес (1988). Ундерградуате Алгебраиц Геометрy . Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-35662-6. Збл 0701.14001.
Схафаревицх, Игор (1995). Басиц Алгебраиц Геометрy I Вариетиес ин Пројецтиве Спаце (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-54812-8. Збл 0797.14001.
Басу, Саугата; Поллацк, Рицхард; Роy, Марие-Франçоисе (2006). Алгоритхмс ин реал алгебраиц геометрy. Спрингер-Верлаг.
Гонзáлез-Вега, Лауреано; Рецио, Тóмас (1996). Алгоритхмс ин алгебраиц геометрy анд апплицатионс. Биркхаüсер.
Елкади, Мохамед; Моурраин, Бернард; Пиене, Рагни, ур. (2006). Алгебраиц геометрy анд геометриц моделинг. Спрингер-Верлаг.
Дицкенстеин, Алициа; Сцхреyер, Франк-Олаф; Соммесе, Андреw Ј., ур. (2008). Алгоритхмс ин Алгебраиц Геометрy. Тхе ИМА Волумес ин Матхематицс анд итс Апплицатионс. 146. Спрингер. ИСБН 9780387751559. ЛЦЦН 2007938208.
Цоx, Давид А.; Литтле, Јохн Б.; О'Схеа, Донал (1998). Усинг алгебраиц геометрy. Спрингер-Верлаг.
Цавинесс, Боб Ф.; Јохнсон, Јеремy Р. (1998). Qуантифиер елиминатион анд цyлиндрицал алгебраиц децомпоситион. Спрингер-Верлаг.
Еисенбуд, Давид; Харрис, Јое (1998). Тхе Геометрy оф Сцхемес. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-98637-1. Збл 0960.14002.
Гротхендиецк, Алеxандер (1960). Éлéментс де гéомéтрие алгéбриqуе. Публицатионс Матхéматиqуес де л'ИХÉС. Збл 0118.36206.
Гротхендиецк, Алеxандер; Диеудоннé, Јеан Алеxандре (1971). Éлéментс де гéомéтрие алгéбриqуе. 1 (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-540-05113-8. Збл 0203.23301.
Хартсхорне, Робин (1977). Алгебраиц Геометрy. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-90244-9. Збл 0367.14001.
Мумфорд, Давид (1999). Тхе Ред Боок оф Вариетиес анд Сцхемес Инцлудес тхе Мицхиган Лецтурес он Цурвес анд Тхеир Јацобианс (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-540-63293-1. Збл 0945.14001.
Схафаревицх, Игор (1995). Басиц Алгебраиц Геометрy II Сцхемес анд цомплеx манифолдс (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-540-57554-2. Збл 0797.14002.

Спољашње везе уреди

Милне, Јамес С. (2008). „Алгебраиц Геометрy”. Приступљено 2009-09-01.

[13] Хартсхорне, п.xв, Харрис, п.3

[1] „Цомплеxитy оф Алгоритхмс”. www.цс.сфу.ца. Приступљено 2022-07-12.

[2] Молланд, А. Г (1976-02-01). „Схифтинг тхе фоундатионс: Десцартес'с трансформатион оф анциент геометрy”. Хисториа Матхематица (на језику: енглески). 3 (1): 21—49. ИССН 0315-0860. дои:10.1016/0315-0860(76)90004-5  .

[3] „Аполлониус - Биограпхy”. Матхс Хисторy (на језику: енглески). Приступљено 2022-11-11.

[4] M., Г. Б. (август 1896). „Аполлониус оф Перга: Треатисе он Цониц Сецтионс”. Натуре (на језику: енглески). 54 (1397): 314—315. Бибцоде:1896Натур..54..314Г. ИССН 1476-4687. С2ЦИД 4059946. дои:10.1038/054314а0.

[5] Унгуру, Сабетаи (јун 1976). „А Верy Еарлy Ацqуаинтанце wитх Аполлониус оф Перга'с Треатисе он Цониц Сецтионс ин тхе Латин Wест”. Центаурус (на језику: енглески). 20 (2): 112—128. Бибцоде:1976Цент...20..112У. ИССН 0008-8994. дои:10.1111/ј.1600-0498.1976.тб00924.x.

[6] Аубрy, П.; Маза, M. Морено (1999). „Триангулар Сетс фор Солвинг Полyномиал Сyстемс: а Цомпаративе Имплементатион оф Фоур Метходс”. Ј. Сyмб. Цомпут. 28 (1–2): 125—154. дои:10.1006/јсцо.1999.0270  .

[7] Фаугèре, Ј.C.; Гианни, П.; Лазард, D.; Мора, Т. (1993). „Еффициент Цомпутатион оф Зеро-Дименсионал Грöбнер Басис бy Цханге оф Ордеринг”. Јоурнал оф Сyмболиц Цомпутатион. 16 (4): 329—344. дои:10.1006/јсцо.1993.1051  .

[8] Лазард, D. (1992). „Солвинг зеро-дименсионал алгебраиц сyстемс”. Јоурнал оф Сyмболиц Цомпутатион. 13 (2): 117—131. дои:10.1016/С0747-7171(08)80086-7  .

[Hartshorne-9] а ^б ^в ^г ^д ^ђ Хартсхорне, Робин (1977). Алгебраиц Геометрy. Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-90244-9.

[10] О'Цоннор, Ј. Ј.; Робертсон, Е. Ф. „Омар Кхаyyам”. Сцхоол оф Матхематицс анд Статистицс, Университy оф Ст Андреwс. Архивирано из оригинала 12. 11. 2017. г. „Кхаyyам химселф сеемс то хаве беен тхе фирст то цонцеиве а генерал тхеорy оф цубиц еqуатионс.”

[11] Расхед, Росхди (1994). Тхе Девелопмент Оф Арабиц Матхематицс Бетwеен Аритхметиц Анд Алгебра. Спрингер. стр. 102—103.

[12] Оакс, Јеффреy (јануар 2016). „Еxцаватинг тхе еррорс ин тхе "Матхематицс" цхаптер оф 1001 Инвентионс”. Пп. 151-171 ин: Соња Брентјес, Танер Едис, Лутз Рицхтер-Бернбурд Едд., 1001 Дистортионс: Хоw (Нот) то Наррате Хисторy оф Сциенце, Медицине, анд Тецхнологy ин Нон-Wестерн Цултурес. Архивирано из оригинала 2021-02-27. г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[ноте 1]