Динамички систем

У математици, динамички систем је систем у коме функција описује временску зависност од тачке у геометријском простору. Примери обухватају математичке моделе који описују њихање клатна часовника, проток воде у цеви, и број риба сваког пролећа у језеру.

Лоренцов атрактор се јавља у студији Лоренцовог осцилатора, који је динамички систем.

У било којем тренутку, динамички систем има стање дато путем Н-торке реалних бројева (вектора) који се могу представити тачком у одговарајућем простору стања (геометријска многострукост). Правило еволуције динамичког система је функција која описује која будућа стања следе из тренутног стања. Често је функција детерминистичка, односно за одређени временски интервал само једно будуће стање следи из тренутног стања. Међутим, неки системи су стохастични, тако да случајни догађаји такође утичу на еволуцију променљивих стања.

У физици, динамички систем се описује као „честица или група честица чије стање варира током времена и на тај начин се покорава диференцијалним једначинама које обухватају временске деривате.” Да би се предвидело будуће понашање система, производи се аналитичко решење таквих једначина или њихова интеграција током времена помоћу компјутерске симулације.

Проучавање динамичких система је фокус теорије динамичких система, који има примену у широком спектру области као што су математика, физика, биологија, хемија, инжењерство, економија, и медицина. Динамички системи су основни део теорије хаоса, динамике логистичке мапе, теорије бифуркације, процеса самосклапања и самоорганизације, и концепта ивице хаоса.

Преглед

Концепт динамичког система има своје порекло у класичној механици. Тамо, као и у другим природним и инжењерским дисциплинама, еволуцијско правило динамичких система је имплицитна веза која даје стање система за само кратко време у будућност. (Однос је диференцијална једначина, једнаџба разлика или друга временска скала.) Да би се утврдило стање за сва будућа времена, потребно је понављање односа више пута - сваки пут напредујући за мали корак. Поступак итерације назива се решавањем система или интегрисањем система. Ако се систем може решити, с обзиром на почетну тачку могуће је одредити све његове будуће позиције, колекцију тачака познатих као трајекторија или орбита.

Пре појаве рачунара, проналажење орбите је захтевало софистиковане математичке технике и могло се вршити само за малу класу динамичких система. Нумеричке методе имплементиране на електронским рачунарским машинама поједноставиле су задатак утврђивања орбита динамичког система.

За једноставне динамичке системе познавање путање је често довољно, мада је већина динамичких система превише компликована да би се разумела у смислу појединачних путања. Потешкоће настају из више разлога.

• Проучени системи могу се познавати само приближно - параметри система можда нису тачно познати, или чланови недостају из једначина. Кориштене апроксимације доводе у питање валидност или релевантност нумеричких решења. Да би се решила ова питања у проучавању динамичких система уведено је неколико појмова стабилности, као што су Љапунова стабилност или структурна стабилност. Стабилност динамичког система подразумева да постоји класа модела или почетних услова за које би путање биле једнаке. Операција за поређење орбита ради успостављања њихове еквивалентности мења се са различитим схватањима стабилности.
• Тип трајекторије може бити важнији од једне одређене трајекторије. Неке трајекторије могу бити периодичне, док друге могу лутати кроз различита стања система. Апликације често захтевају набрајање ових класа или одржавање система унутар једне класе. Класификација свих могућих путања довела је до квалитативног проучавања динамичких система, односно својстава која се не мењају у складу са променама координата. Линеарни динамички системи и системи који имају два броја који описују стање су примери динамичких система где су познате могуће класе орбита
• Понашање путања као функција параметра може бити оно што је потребно за апликацију. Како се параметар мења, динамички системи могу имати тачке бифуркације у којима се квалитативно понашање динамичког система мења. На пример, систем може ићи од само периодичних покрета до наизглед неправилног понашања, као у прелазу у турбуленцију неке течности.
• Трајекторије система могу се чинити неправилним, као да су насумичне. У овим случајевима може да буде неопходно да се израчунају просеци користећи једну веома дугу трајекторију или много различитих трајекторија. Просеци су добро дефинисани за ергодичне системе и детаљније разумевање је развијено за хиперболичне системе. Разумевање вероватних аспеката динамичких система помогло је успостављању основа статистичке механике и хаоса.

Литература

• Ралпх Абрахам; Јерролд Е. Марсден (1978). Фоундатионс оф мецханицс. Бењамин–Цуммингс. ИСБН 978-0-8053-0102-1.  (аваилабле ас а репринт: ISBN 0-201-40840-6)
• Енцyцлопаедиа оф Матхематицал Сциенцес (ИССН 0938-0396) хас а суб-сериес он дyнамицал сyстемс wитх ревиеwс оф цуррент ресеарцх.
• Цхристиан Бонатти; Лорензо Ј. Дíаз; Марцело Виана (2005). Дyнамицс Беyонд Униформ Хyперболицитy: А Глобал Геометриц анд Пробабилистиц Перспецтиве. Спрингер. ИСБН 978-3-540-22066-4. 
• Степхен Смале (1967). „Дифферентиабле дyнамицал сyстемс”. Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy. 73 (6): 747—817. дои:10.1090/С0002-9904-1967-11798-1. 
• V. I. Арнолд (1982). Матхематицал метходс оф цлассицал мецханицс. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-96890-2. 
• Јацоб Палис; Wелингтон де Мело (1982). Геометриц тхеорy оф дyнамицал сyстемс: ан интродуцтион. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-90668-3. 
• Давид Руелле (1989). Елементс оф Дифферентиабле Дyнамицс анд Бифурцатион Тхеорy. Ацадемиц Пресс. ИСБН 978-0-12-601710-6. 
• Тим Бедфорд; Мицхаел Кеане; Царолине Сериес, ур. (1991). Ергодиц тхеорy, сyмболиц дyнамицс анд хyперболиц спацес. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-853390-0. 
• Ралпх Х. Абрахам; Цхристопхер D. Схаw (1992). Дyнамицс—тхе геометрy оф бехавиор, 2нд едитион. Аддисон-Wеслеy. ИСБН 978-0-201-56716-8. 
• Катхлеен Т. Аллигоод; Тим D. Сауер; Јамес А. Yорке (2000). Цхаос. Ан интродуцтион то дyнамицал сyстемс. Спрингер Верлаг. ИСБН 978-0-387-94677-1. 
• Одед Галор (2011). Дисцрете Дyнамицал Сyстемс. Спрингер. ИСБН 978-3-642-07185-0. 
• Моррис W. Хирсцх; Степхен Смале; Роберт L. Деванеy (2003). Дифферентиал Еqуатионс, дyнамицал сyстемс, анд ан интродуцтион то цхаос. Ацадемиц Пресс. ИСБН 978-0-12-349703-1. 
• Анатоле Каток; Борис Хасселблатт (1996). Интродуцтион то тхе модерн тхеорy оф дyнамицал сyстемс. Цамбридге. ИСБН 978-0-521-57557-7. 
• Степхен Лyнцх (2010). Дyнамицал Сyстемс wитх Апплицатионс усинг Мапле 2нд Ед. Спрингер. ИСБН 978-0-8176-4389-8. 
• Степхен Лyнцх (2014). Дyнамицал Сyстемс wитх Апплицатионс усинг МАТЛАБ 2нд Едитион. Спрингер Интернатионал Публисхинг. ИСБН 978-3319068190. 
• Степхен Лyнцх (2017). Дyнамицал Сyстемс wитх Апплицатионс усинг Матхематица 2нд Ед. Спрингер. ИСБН 978-3-319-61485-4. 
• Степхен Лyнцх (2018). Дyнамицал Сyстемс wитх Апплицатионс усинг Пyтхон. Спрингер Интернатионал Публисхинг. ИСБН 978-3-319-78145-7. 
• Јамес Меисс (2007). Дифферентиал Дyнамицал Сyстемс. СИАМ. ИСБН 978-0-89871-635-1. 
• Давид D. Нолте (2015). Интродуцтион то Модерн Дyнамицс: Цхаос, Нетwоркс, Спаце анд Тиме. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0199657032. 
• Јулиен Цлинтон Спротт (2003). Цхаос анд тиме-сериес аналyсис. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-850839-7. 
• Стевен Х. Строгатз (1994). Нонлинеар дyнамицс анд цхаос: wитх апплицатионс то пхyсицс, биологy цхемистрy анд енгинееринг. Аддисон Wеслеy. ИСБН 978-0-201-54344-5. 
• Тесцхл, Гералд (2012). Ординарy Дифферентиал Еqуатионс анд Дyнамицал Сyстемс. Провиденце: Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-8218-8328-0. 
• Степхен Wиггинс (2003). Интродуцтион то Апплиед Дyнамицал Сyстемс анд Цхаос. Спрингер. ИСБН 978-0-387-00177-7. 
• Флорин Диацу; Пхилип Холмес (1996). Целестиал Енцоунтерс. Принцетон. ИСБН 978-0-691-02743-2. 
• Јамес Глеицк (1988). Цхаос: Макинг а Неw Сциенце. Пенгуин. ИСБН 978-0-14-009250-9. 
• Ивар Екеланд (1990). Матхематицс анд тхе Унеxпецтед (Папербацк). Университy Оф Цхицаго Пресс. ИСБН 978-0-226-19990-0. 
• Иан Стеwарт (1997). Доес Год Плаy Дице? Тхе Неw Матхематицс оф Цхаос. Пенгуин. ИСБН 978-0-14-025602-4. 

Спољашње везе

• Arxiv preprint server has daily submissions of (non-refereed) manuscripts in dynamical systems.
• Encyclopedia of dynamical systems A part of Scholarpedia — peer reviewed and written by invited experts.
• Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
• Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (Sept 2003) provides definitions, explanations and resources related to nonlinear science

Онлајн књиге и белешке са предавања

• Berglund, Nils (2001). „Geometrical theory of dynamical systems”. arXiv:math.HO/0111177 . . Nils Berglund's lecture notes for a course at ETH at the advanced undergraduate level.
• Dynamical systems. George D. Birkhoff's 1927 book already takes a modern approach to dynamical systems.
• Chaos: classical and quantum. An introduction to dynamical systems from the periodic orbit point of view.
• Learning Dynamical Systems. Tutorial on learning dynamical systems.
• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Lecture notes by Gerald Teschl

Истраживачке групе

• Dynamical Systems Group Groningen, IWI, University of Groningen.
• Chaos @ UMD. Concentrates on the applications of dynamical systems.
• [1], SUNY Stony Brook. Lists of conferences, researchers, and some open problems.
• Center for Dynamics and Geometry Архивирано на сајту Wayback Machine (14. јул 2014), Penn State.
• Control and Dynamical Systems, Caltech.
• Laboratory of Nonlinear Systems, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL).
• Center for Dynamical Systems, University of Bremen
• Systems Analysis, Modelling and Prediction Group, University of Oxford
• Non-Linear Dynamics Group, Instituto Superior Técnico, Technical University of Lisbon
• Dynamical Systems Архивирано на сајту Wayback Machine (2. јун 2017), IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada.
• Nonlinear Dynamics Workgroup Архивирано на сајту Wayback Machine (21. јануар 2015), Institute of Computer Science, Czech Academy of Sciences.
• UPC Dynamical Systems Group Barcelona, Polytechnical University of Catalonia.
• Center for Control, Dynamical Systems, and Computation, University of California, Santa Barbara.