Електронски филтер

Електронски филтер је електрично коло чија је функција да на одређени начин промијени карактеристику фреквенцијског спектра улазног сигнала. Филтер је направа или систем који на одређени унапријед прописани начин врши конверзију величина на својим улазима у величине на својим излазима.

ФИЛТАР КФ-ГСМ
Модел КФ-ГСМ за управљање ГСМ предајника

Циљ филтра:

• умањити нежељена својства улазних величина,
• задржати или истакнути жељена својства.

Електронски филтер је систем чије су улазне и излазне величине електрични сигнали. Његова функција је да на прописани начин промјени карактеристике спектра улазног сигнала. Постоје пасивни филтри који су састављени само од пасивних електричних компоненти (калеми, кондензатори, отпорници) и активни филтри који поред пасивних садрже и једну или више активних компоненти са својством појачања сигнала (транзистори, операцијска и друга појачала).

Активни филтри могу бити аналогни или дигитални. Аналогни филтер обрађује аналогни сигнал и може се представити линеарним четверополом. Дигитални филтер обрађује дигитални сигнал и реализује се помоћу посебних интегрираних кругова или као алгоритам којег изводи процесор дигиталног сигнала (ДСП - енгл. Digital Signal Processor).

Историјат

Најстарија форма електронских филтера су линеарни пасивни аналогни филтри, састављени искључиво од отпорника и кондензатора или отпорника и калема. Познати су као RC и RL једнополни филтри, респективно. Сложенији вишеполни LC филтри постоје већ пуно година и њихова својства су добро позната.

Такође постоје и хибридни филтри који укључују комбиновање аналогног појачивача са механичким резонатором или линијом кашњења. Други уређаји попут ЦЦД линија кашњења такође су кориштени као филтри. Са омогућавањем обраде дигиталног сигнала и активни филтри су постали честа појава.

Преносна функција филтра

Систем са једним улазом x(t) и једним излазом y(t)

Електронски филтер је систем, па га је у том смислу могуће дефинисати као скуп спецификација којима су одређени односи између његових улаза и излаза.

Пријеносна функција филтра H(s) се дефинише као однос излазног сигнала Y(s) и улазног сигнала X(s) у домени комплексне фреквенције s:

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}$

Ако се филтер проматра у стационарном стању, могуће је комплексну фреквенцију s замијенити с њеним имагинарним дијелом jω, те се тада добије пријеносна функција у облику:

$H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\varphi (\omega )}$

За линеарни и временски непромјењив систем однос између улаза и излаза система дефиниран је конволуцијским интегралом:

$y(t)=\int \limits _{0}^{\infty }h(t-\tau )\chi (\tau )d\tau$

гдје су :

• h(t) импулсни одзив система,
• x(t) улаз, потицај или побуда,
• y(t) излаз или одзив система.

Амплитудско-фреквенцијска карактеристика

Амплитудно-фреквенцијска карактеристика показује колико филтер појачава (или гуши) сигнал на одређеној фреквенцији. Дефинисана је као логаритам апсолутне вриједности пријеносне функције када се с замијени са јω:

$A(\omega )=\log {|H(j\omega )|}\,$

Логаритмирањем с природним логаритмом амплитудна се карактеристика добије изражена у неперима (N), а логаритмирањем декадским логаритмом резулатат треба помножити с 20 како би амплитудна карактеристика била изражена у децибелима (dB). Између децибела и непера вриједи релација:

1 dB = 8,686 N

Фазно-фреквенцијска карактеристика

Фазно-фреквенцијска карактеристика показује како излазни сигнал филтра претходи или заостаје у фази за улазним на одређеној фреквенцији.

Типови филтера

Селективни филтри

Код селективних филтера облик |H(jW)| је такав да је могуће јасно разликовати фреквенцијска подручја у којима је улазни сигнал пригушен од оних у којима је он пропуштен. Подручје пропуштања филтра је појас фреквенција у којем амплитудно фреквенцијска карактеристика има вриједност приближно једнаку 1. Компоненте побудног сигнала чије су фреквенције унутар тог појаса појављују на излазу филтра са приближно истом амплитудом као и на улазу.

Подручје гушења филтра је:

• појас фреквенција у којем је амплитудно фреквенцијска карактеристика приближно једнака нули,
• фреквенцијске компоненте улазног сигнала које се налазе унутар тог појаса нису пропуштене на излаз.

Амплитудно фреквенцијска карактеристика |H(jW)| је функција без дисконтинуитета, па је пријелаз између подручја пропуштања и подручја гушења континуиран.

Пријелазно подручје филтра је подручје фреквенција на пријелазу између подручја пропуштања и подручја гушења. Обзиром на положај сваког од споменутих подручја на фреквенцијској оси, могуће је разликовати 4 основна типа селективних филтера.

Нископропусни / Нискофреквенцијски (НП / НФ) филтер

Ниско пропусни филтер

Нископропусни филтер пропушта све фреквенције ниже од граничне фреквенције са мањим слабљењем, а фреквенције које су веће од граничне са вечим слабљењем.

• подручје пропуштања за 0 < Ω < Ω1 ,
• подручје гушења за Ω2 < Ω < ∞ ,

важи: Ω1 < Ω2 .

Високопропусни / Високофреквенцијски (ВП / ВФ) филтер

Високо пропусни филтер

Високопропусни филтер пропушта све фреквенције више од граничне фреквенције, а гуши ниже.

• подручје пропуштања за Ω2 < Ω < ∞ ,
• подручје гушења за 0 < Ω < Ω1 ,

важи : Ω1 < Ω2 .

Појасно пропусни (ПФ) филтер

Појасно пропусни филтер

Појаснопропусни филтер пропушта све фреквенције између двију граничних фреквенција, а гуши остале.

• подручје пропуштања за Ω2 < Ω < Ω3 ,
• подручја гушења за 0 < Ω < Ω1 и Ω4 < Ω < ∞ ,

важи : Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4 .

Појасна брана

Појасна брана

Појасна брана гуши све фреквенције између двију граничних фреквенција, а пропушта остале.

• подручје пропуштања за 0 < Ω < Ω1 и Ω4 < Ω < ∞ ,
• подручја гушења за Ω2 < Ω < Ω3 ,

вриједи : Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4 .

Филтерски коректори

За разлику од селективних филтера, немају јасно дефинирана подручја пропуштања односно подручја гушења. Служе за корекцију фреквенцијске карактеристике неког другог система. Обзиром на чињеницу дали коригирају амплитудно/фрек. или фазно/фрек. карактеристику система дијеле се на: амплитудне коректоре и фазне коректоре.

Фазни коректори

Фазни коректор

Најчешће се користе свепропусни филтри, амплитудно/фрек. карактеристика им је равна у цијелом фреквенцијском подручју, све су фреквенцијске компоненте сигнала пренесене без пригушења, али су фазно помакнуте према дефинираним филтерским спецификацијама.

Подјела по технологији

Пасивни филтри

Пасивна примјена линеарних филтера се заснива на комбиновању отпорник (R), калема (L) и кондензатор (C). Ови типови филтера су познати као пасивни зато што не зависе од извора напајања и не садрже активне компоненте као што су транзистори.

Калеми блокирају сигнале високих а проводе сигнале ниских фреквенција док кондензатори раде обратно. Филтер код којег сигнал пролази кроз калем или код којег је кондензатор везан на масу, мање слаби ниско фреквентне сигнале а више слаби високо фреквентне, тако да је то филтер пропусник ниских учестаности. Ако сигнал пролази кроз кондензатор или је везан за масу преко калема, тада он мање слаби високофреквентне сигнале а мање нискофреквентне и то је филтер пропусник високих учестаности. Отпорници немају фреквенцијску зависност али се додају калемима и кондензаторима да би одредили временске константе кола а самим тим и учестаности на које се врши одзив кола.

Калеми и кондензатори су реактивни елементи филтра. Број ових елемената одређује којег је реда филтер. То значи да се LC коло, кориштено као пропусник или непропусник опсега учестаности, сматра једним елементом без обзира што је састављено од двије компоненте.

На високим учестаностима (изнад 100 MHz), некад се калеми састоје од само једног навојка или лимене траке, а кондензатори од блиско постављених лимених трака.

Једноелементни тип

Филтер пропусник ниских учестаности реализован помоћу RC кола

Најједноставнији пасивни филтри садрже један реактивни елемент. Израђују се од RC, RL, LC или RLC елемената.

Q фактор или фактор доброте је мјера којом се описују једноставни пропусници или непропусници опсега учестаности. За филтер се казе да има велики Q фактор уколико има пропусни опсег који је узак у односу на централну учестаност. На тај начин се фактор доброте,за пропуснике и непропуснике учестаности, може дефинисати као вриједност централне учестаности подијељене са ширином опсега од 3dB. Ријетко се користи код филтер већег реда гдје су други параметри од знатно веће важности, као и код филтер пропусника високих и ниских учестаности гдје се Q не односи на ширину опесга

L филтер

L филтер се састоји од два реактивна елемента, једног серијски а другог паралено везаног

Т и π филтри

Ниско пропусни π филтер

Високо пропусни Т филтер

Троелементни филтри могу имати Т или π топологију у било којем облику, нископропусном, високопропусном, пропуснику или непропуснику учестаности. Компоненте могу бити симетрично одабране или не, у зависности од потребних карактеристика фреквенције. Високо пропусни филтер Т, на слици, има веома малу импедансу на високим учестаностима а веома велику на ниским учестаностима. То значи да се може убацити у преносну линију, гдје би пропуштао високе а блокирао ниске фреквенције

Вишеелементни типови

Вишеелементни типови филтер се најчешће израђују као љествичаста мрежа (енг. ладдер нетwорк). Могу бити повезани као низови филтера L, Т и π дизајна. Потребно је више елемената кад треба да се поправи неки параметар филтра као што је отклањање непропусног опсега или нагиб преласка са високог на ниско пропусни филтер.

Тип филтра са више елемената, на слици је љествичаста мрежа

Активни филтри

Активни филтри су састављени комбиновањем пасивних и активних (појачавачких) компоненти, и потребног извора напајања. Операциони појачивачи се често користе код активних филтера. Они могу имати велики фактор доброте и могу достићи резонанцу без коришћења калема. Било како било горњу граничну вриједност фреквенције одређује ширина пропусног опсега самог појачивача.

Примјер активног филтра пропусника ниских учестаности (користи операциони појачавач)

Дигитални филтри

Заједнички филтер импулсног одзива за н секција, гдје свака има засебно кашњење, di и вриједност појачања, ai

Обрада дигиталног сигнала омогућава јефтинију израду различитих филтера. Сигнал се одабере и аналогно-дигитални претварач сигнал претвара у низ бројева. Рачунарским програмом покренунтом на ЦПУ или специјализованом ДСП (или рјеђе на хардверској примјени алгоритма) се рачуна излазни низ бројева. Овакав одзив се мозе претворити у сигнал (електични) пролазећи кроз дигитално-аналогни претварач. Приликом претварања долази до појаве шума, али се он може ограничити и контролисати преко великог броја корисних филтера. Због нуспојава, излазни сигнал мора бити ограничене фреквенције или ће се појавити степенасти (алиасинг) ефекат.

Остале технологије

Кварцни филтри и пиезоелектрици

Касних тридесетих година 20. вијека инжињери су установили мали механички систем сачињен од чврстог материјала као што је кварц акустично производе резонанцу на радио фреквенцијама, тј. на фреквенцијама од фреквенција које може регистровати људско ухо до неколико стотина МХз. Неки ранији резонатори су били прављени од челика али су врло брзо замијењени кварцом. Највећа предност овог материјала је то што је он пиезоелектрик, што значи да кварцни резонатор може директно да претвори своје механичке покрете у електрични сигнал. Кварц такође има и низак коефицијент температурног раста што значи да резонатори израђени од њега могу производити стабилне фреквенце и на веома високим температурама. Кварцни филтри имају знатно већи фактор доброте од ЛЦР филтера. Када је потребна велика стабилност кристали (кварца) и кола која на која их прикључујемо се стављају у “кристалну пећницу”(црyстал овен) ради контролисања температуре. Код филтера са малим пропусним опсегом, некад се ови кристали постављају у серијама. Инжињери су установили да се велики број кристала може свести на једну компоненту, постављањем испарења од метала на кристал кварца. На тај начин линија кашњења појачава жељене учестаности док звук пролази кроз површину кристала. Примјеном ове технике тактна линија кашњења је постала главна шема за прављење висококвалитетних филтера.

SAW филтри

SAW (енгл. Surface Acoustic Wave) су електромеханички уређаји најчешће коришћени у радио фреквентним апликацијама. Електрични сигнал се преводи у механички талас у уређају направљеном од пиезоелектричних кристала или керамике. Добијени талас касни пролазећи кроз уређај на чијем крају се враћа у електрични сигнал коришћењем електрода. Закашњели излазни сигнали се рекомбинују да би омогућили директну аналогну примјену филтра коначног импулсног одзива. Оваква хибридна техника филтрирања се такође примјењује код аналогно одабирних филтера. SAW филтри могу радити на фреквенцијама до 3 GHz.

БАW филтри

БАW (енг. Булк Ацоустиц Wаве) филтри су електромагнетни уређаји. Ови филтри могу бити састављени од љествичастих филтера. Раде углавном на фреквенцијама од 2 до 16 GHz или на мањим од еквивалентних САW. Два најважнија БАW филтра су ФБАР и СМБАР

Гранатни (енг. Гарнет) филтри

Још једна од метода филтрирања, на микроталасној фреквенцији од 800 MHz до 5 GHz, изводи се коришћењем синтетичке сфере кристала Итријум гвожђе граната (енг. YИГФ yттриум ирон гарнет филтер ) који се добија хемијском реакцијом од итријума и гвожђа. Гранат се налази на металном проводнику који побуђује транзистор, а мала антена додирује врх сфере. Електромагнет мијења фреквенцију тако да је гранат пропусти. Предност ове методе је то што се гранат може подесити на великом опсегу фреквенција при чему мијења јачину магнетног поља.

Атомски филтри

За највеће фреквенције и већу прецизност користе се вибрације самих атома. Атомски часовник (енгл. Атомиц цлоцк) користи посебне ултра квалитетне филтре да би стабилизовао осцилације.

Подјела по топологији

Елекронски филтри се могу подијелити по технологији њихове примјене. Филтри који користе технологију пасивног или активног филтрирања се даље могу дијелити по топологији која је коришћена при њиховој изради.

Најчешће топологије кола су:

• Сауер технологија - Пасивни
• Сален-Ки топологy - Активни
• Технологија филтера са вишеструком повратном спрегом - Активни
• Топологија са варијабилним стањима - Активни
• Биквадратна топологија - Активни

Филтер Сален–Ки топологије је тип електронског филтра који се примјењује као активни филтер другог реда и цијењен је због своје једноставности. Он је изведен из топологије филтера напоном контролисаног напонског извора (НКНИ). НКНИ филтер користи јединично појачање напона са готово бесконачном улазном и нултом излазном импедансом како би се добила 2 пола (12 dB по октави) у одзиву филтер нископропусних,високопропусних и пропуснка опсега учестаности.

Због велике улазне импедансе и лако подесивог појачања и неинвертујуће конфигурације, операциони појачавач се често користи у електричним колма која садрже НКНИ. Сален–Ки филтри најчешће користе операциони појачавач као еммитер фоллоwер.

$Z_{1}=R_{1}$, $Z_{2}=R_{2}$, $Z_{3}={\frac {1}{sC_{2}}}$ и $Z_{4}={\frac {1}{sC_{1}}}$

Преносна функција за нископропусни филтер другог реда са јединичним појачањем

$H(s)={\frac {\overbrace {(2\pi f_{c})^{2}} ^{\omega _{c}^{2}}}{s^{2}+\underbrace {2\pi {\frac {f_{c}}{Q}}} _{{\frac {\omega _{c}}{Q}}=2\zeta \omega _{c}}s+\underbrace {(2\pi f_{c})^{2}} _{\omega _{c}^{2}}}}$

Гдје су гранична фреквенција $f_{c}\,$ и фактор доброте $Q\,$ (и.е., степен пригушења $\zeta$) дати изразима

$f_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$ и

$2\zeta ={\frac {1}{Q}}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right).\,$

Одавде добијамо

$Q={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}\qquad {\text{i}}\qquad {\frac {f_{c}}{Q}}={\frac {R_{1}+R_{2}}{2\pi C_{1}R_{1}R_{2}}}.\,$

Топологија са вишеструком повратном спрегом је тип филтера који додаје два пола преносној функцији. На слици изнад можете видјети коло нископропусног филтра другог реда. Преносна функција код топологије са вишеструком повратном спрегом, је слична као и код осталих линеарних филтера:

$H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{\frac {1}{As^{2}+Bs+C}}={\frac {K\omega _{0}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+\omega _{0}^{2}}}$.

У МФ филтру,

$A=(R_{1}R_{3}C_{2}C_{5})\,$

$B=R_{3}C_{5}+R_{1}C_{5}+R_{1}R_{3}C_{5}/R_{4}\,$

$C=R_{1}/R_{4}\,$

$Q={\frac {\sqrt {R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}{(R_{4}+R_{3}+KR_{3})C_{5}}}$ фактор доброте.

$K=R_{4}/R_{1}\,$ појачање једносмјерног напона

$\omega _{0}=2\pi f_{0}=1/{\sqrt {R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}$ угаона учестаност

Подјела по дизајну

Историјски гледано дизајн линеарно аналогних филтера се развијао кроз три велике епохе. Најстарији дизајн чине једноставна кола чији је главни критеријум израде био Q фактор. Ово се одразило на принцип филтрирања код радио технике, јер је фактор доброте била мјера фреквентне пропустљивости кола које служи за подешавање. Од двадесетих година 20. вијека филтре су почели израђивати, у највећој мјери под утицајем телекомуникација. После Другог свјетског рата најчешће примјењивана методологија је постала синтеза мреже (енг. Нетwорк сyнтхесис). Вишу математику и велики рачун замијенила је рачунарска техника која је знатно олакшала процес анализирања.

Директна анализа кола

РЛ филтер фреквентног одзива

Филтри нижег реда се могу дизајнирати директном примјеном теоријских закона о колима, као што су Кирхофови закони, ради добијања преносне функције. Ова врста анализе се може користити само за кола првог и другог реда.

Анализа кола на основу посматране отпорности

Овај приступ анализе филтера се удаљава од посматрања филтера као бесконачаног низа идентичних одјељака. Предност је једноставност приступа анализи и могућности примјене на кола вишег реда. I међутим једну ману, прецизност предвиђена одзивом зависи од филтрирања посматране импедансе

• 
  Одзив константног к филтра са 5 елемената]]
• 
  Зобел мрежни филтера (са константним отпором), 5 одјељака
• 
  Одзив м-изведеног филтра м=0.5, 2 елемената
• 
  Одзив м-изведеног филтра, м=0.5, 5 елемената

Синтеза мреже

• Батервортов филтер
• Чебушјев филтер
• Елиптични филтер
• Безелов филтер
• Гаусов филтер
• Оптимум "L" филтер
• Линквик-Рилејов филтер

Приступ анализе мреже започиње захтијеваном преносном функцијом и изражава улазну импедансу полиномским једначинама. Вриједности елемената филтра се одређују развојем ових полинома. За разлику од метода посматрања импедансе, није потребно да се импедансна карактеристика поклапа са мрежном.

На слици се могу видјети поређење између Батервортовог, Чебушјевог, и елиптичног филтра. На овој слици су нископропусни филтри петог реда. То да ли су они дигитални или аналогни, пасивни или актвни није ни важно, јер сви дају исти одзив.

Као што се може видјети са слике, елиптични филтри су оштрији од осталих, али имају закривљења на читавој дужини.

Литература

• Зверев, Анатол, I (1969). Хандбоок оф Филтер Сyнтхесис. Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 978-0-471-98680-5. ЦС1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза) Цаталог оф пассиве филтер тyпес анд цомпонент валуес. Тхе Библе фор працтицал елецтрониц филтер десигн.
• Wиллиамс, Артхур Б & Таyлор, Фред Ј. (1995). Елецтрониц Филтер Десигн Хандбоок. МцГраw-Хилл. ИСБН 978-0-07-070441-1. 
• Артхур Б. Wиллиамс; Фред Ј. Таyлор (1995). Елецтрониц Филтер Десигн Хандбоок (3. изд.). Мцграw-Хилл. ИСБН 978-0-07-070441-1. 
• Зверев, Анатол I. (2005). Хандбоок оф Филтер Сyнтхесис. Wилеy-Интерсциенце. ИСБН 978-0-471-74942-4. 

Спољашње везе

• National Semiconductor AN-779 application note describing analog filter theory
• Fundamentals of Electrical Engineering and Electronics – Detailed explanation of all types of filters
• BAW filters Архивирано на сајту Wayback Machine (16. јул 2011)
• Some Interesting Filter Design Configurations & Transformations
• Analog Filters for Data Conversion