Хи-квадратна расподела

У теорији вероватноће и статистици, хи-квадратна расподела (такође хи-квадрат или χ²-расподела) са к степена слободе је дистрибуција суме квадрата к независних стандардно нормалних рандомних променљивих. Хи-квадратна дистрибуција је специјални случај гама дистрибуције и једна је од од најшире кориштених дистрибуција вероватноће у инференцијској статистици, нарочито у тестирању хипотеза или у конструкцији интервала поузданости. Када се прави разлика од општије нецентралне хи-квадратне расподеле, ова дистрибуција се понекад назива централном хи-квадратном расподелом.

Хи-квадрат

Функција густине вероватноће
Функција кумулативне расподеле
Нотација	$\chi ^{2}(k)\;$ или $\chi _{k}^{2}\!$
Параметри	$k\in \mathbb {N} _{>0}~~$ (познати као „степени слобода”)
Носитељ	$x\in (0,+\infty )\;$ ако је $k=1$, иначе $x\in [0,+\infty )\;$
ПДФ	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
ЦДФ	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
Просек	$k$
Медијана	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
Модус	$\max(k-2,0)\;$
Варијанса	$2k\;$
Коеф. асиметрије	$\scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,$
Куртоза	${\frac {12}{k}}$
Ентропија	${\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\log(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{aligned}}$
МГФ	$(1-2t)^{-k/2}{\text{ za }}t<{\frac {1}{2}}\;$
ЦФ	$(1-2it)^{-k/2}$
ПГФ	$(1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ za }}0<t<{\sqrt {e}}\;$

Хи-квадратна расподела се користи у уобичајеним хи-квадратним тестовима за адекватност уклапања посматране дистрибуције у теоријски очекивану, независност два критеријума класификације квалитативних података, и процену интервала поузданости за популацију стандардних девијација нормалне дистрибуције из стандардне девијације узорка. Многи други статистички тестови такође користе ову дистрибуцију, као што је Фридманова анализа варијансе по ранговима.

Дефиниција

Ако су Z₁, ..., Z_k независне, стандардно нормалне рандомне променљиве, онда је сума њихових квадрата,

$Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},$

дистрибуирана у складу са хи-квадратном дистрибуцијом са k степени слободе. Ово се обично означава са

$Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.$

Хи-квадратна дистрибуција има један параметар: k, позитивни интегер који специфицира број степени слободе (број Z_i вредности).

Табела χ² вредности вс p-вредности

p-вредност је вероватноћа опсервације статистичког теста бар као екстрема у хи-квадратној дистрибуцији. Сходно томе, пошто кумулативна функција расподеле (ЦДФ) за одговарајуће степене слободе (df) даје вероватноћу да је добијена вредност мање екстремна од ове тачке, одузимање ЦДФ вредности од 1 даје p-вредност. Мала p-вредност, испод изабраног нивоа значаја, указује на статистички значај, тј. довољан доказ да се одбаци нулта хипотеза. Ниво значаја од 0,05 се често користи као граница између значајних и незначајних резултата.

Доња табела даје број p-вредности које одговарају са χ² за првих 10 степени слободе.

Степени слободе (дф)	χ2 вредност
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1,07	1,64	2,71	3,84	6,63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2,41	3,22	4,61	5,99	9,21	13,82
3	0,35	0,58	1,01	1,42	2,37	3,66	4,64	6,25	7,81	11,34	16,27
4	0,71	1,06	1,65	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	13,28	18,47
5	1,14	1,61	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	15,09	20,52
6	1,63	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	16,81	22,46
7	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	18,48	24,32
8	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	20,09	26,12
9	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	21,67	27,88
10	3,94	4,87	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	23,21	29,59
П вредност (вероватноћа)	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Ове вредности се могу израчунати проценом функције квантила (такође познате као „инверзни ЦДФ” или „ИЦДФ”) расподеле хи-квадрата; е. г., χ² ИЦДФ за п = 0,05 и дф = 7 даје 14,06714 ≈ 14,07 као у горњој табели.

Литература

• Халд, Андерс (1998). А хисторy оф матхематицал статистицс фром 1750 то 1930. Неw Yорк: Wилеy. ИСБН 978-0-471-17912-2. 
• Елдертон, Wиллиам Палин (1902). „Таблес фор Тестинг тхе Гооднесс оф Фит оф Тхеорy то Обсерватион”. Биометрика. 1 (2): 155—163. дои:10.1093/биомет/1.2.155. 
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Цхи-сqуаред дистрибутион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Пиерре Симон де Лаплаце (1812). Аналyтицал Тхеорy оф Пробабилитy. 
• А. Колмогорофф (1933). Грундбегриффе дер Wахрсцхеинлицхкеитсрецхнунг. ИСБН 978-3-642-49888-6. дои:10.1007/978-3-642-49888-6. 
• Патрицк Биллингслеy (1979). Пробабилитy анд Меасуре. Неw Yорк, Торонто, Лондон: Јохн Wилеy анд Сонс. 
• Олав Калленберг; Фоундатионс оф Модерн Пробабилитy, 2нд ед. Спрингер Сериес ин Статистицс. (2002). 650 пп. ISBN 0-387-95313-2
• Хенк Тијмс (2004). Ундерстандинг Пробабилитy. Цамбридге Унив. Пресс. 
• Олав Калленберг; Пробабилистиц Сyмметриес анд Инварианце Принциплес. Спрингер -Верлаг, Неw Yорк (2005). 510 пп. ISBN 0-387-25115-4
• Durrett, Rick (2019). Probability: Theory and Examples, 5th edition. UK: Cambridge University Press. ISBN 9781108473682. 
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0. 
• Pearson, Karl (1893). „Contributions to the mathematical theory of evolution [abstract]”. Proceedings of the Royal Society. 54: 329—333. JSTOR 115538. doi:10.1098/rspl.1893.0079 . 
• Pearson, Karl (1895). „Contributions to the mathematical theory of evolution, II: Skew variation in homogeneous material”. Philosophical Transactions of the Royal Society. 186: 343—414. Bibcode:1895RSPTA.186..343P. JSTOR 90649. doi:10.1098/rsta.1895.0010 . 
• Pearson, Karl (1901). „Mathematical contributions to the theory of evolution, X: Supplement to a memoir on skew variation”. Philosophical Transactions of the Royal Society A. 197 (287–299): 443—459. Bibcode:1901RSPTA.197..443P. JSTOR 90841. doi:10.1098/rsta.1901.0023 . 
• Pearson, Karl (1916). „Mathematical contributions to the theory of evolution, XIX: Second supplement to a memoir on skew variation”. Philosophical Transactions of the Royal Society A. 216 (538–548): 429—457. Bibcode:1916RSPTA.216..429P. JSTOR 91092. doi:10.1098/rsta.1916.0009 . 
• Corder, G. W.; Foreman, D. I. (2014), Nonparametric Statistics: A Step-by-Step Approach, New York: Wiley, ISBN 978-1118840313 
• Greenwood, Cindy; Nikulin, M. S. (1996), A guide to chi-squared testing, New York: Wiley, ISBN 0-471-55779-X 
• Nikulin, M. S. (1973), „Chi-squared test for normality”, Proceedings of the International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, 2, стр. 119—122 
• Bagdonavicius, V.; Nikulin, M. S. (2011), „Chi-squared goodness-of-fit test for right censored data”, The International Journal of Applied Mathematics and Statistics, стр. 30—50 Шаблон:Full citation needed
• „Chi-squared Statistic”. Practical Cryptography. Архивирано из оригинала 18. 2. 2015. г. Приступљено 18. 2. 2015. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• „Using Chi Squared to Crack Codes”. IB Maths Resources. British International School Phuket. 15. 6. 2014. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Ryabko, B. Ya.; Stognienko, V. S.; Shokin, Yu. I. (2004). „A new test for randomness and its application to some cryptographic problems” (PDF). Journal of Statistical Planning and Inference. 123 (2): 365—376. doi:10.1016/s0378-3758(03)00149-6. Приступљено 18. 2. 2015. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Feldman, I.; Rzhetsky, A.; Vitkup, D. (2008). „Network properties of genes harboring inherited disease mutations”. PNAS. 105 (11): 4323—432. Bibcode:2008PNAS..105.4323F. PMC 2393821 . PMID 18326631. doi:10.1073/pnas.0701722105 . 
• „chi-square-tests” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 29. 6. 2018. г. Приступљено 29. 6. 2018. CS1 одржавање: Формат датума (веза)

Spoljašnje veze

• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Chi squared has a brief history
• Course notes on Chi-Squared Goodness of Fit Testing from Yale University Stats 101 class.
• Mathematica demonstration showing the chi-squared sampling distribution of various statistics, e. g. Σx², for a normal population
• Lin, Jinn-Tyan (1988). „Approximating the Cumulative Chi-Square Distribution and its Inverse”. Journal of the Royal Statistical Society. Series D (The Statistician). 37 (1): 3—5. JSTOR 2348373. doi:10.2307/2348373.  Simple algorithm for approximating cdf and inverse cdf for the chi-squared distribution with a pocket calculator]
• Values of the Chi-squared distribution