Калманов филтер
За статистику и теорију управљања, Калманово филтрирање, такође познато као линеарна квадратна процена (ЛQЕ), је алгоритам који користи низ мерења посматраних током времена, укључујући статистичку буку и друге нетачности, и производи процене непознатих варијабли које имају тенденцију да буду тачније од оних заснованих само на једном мерењу, проценом заједничке дистрибуције вероватноће преко варијабли за сваки временски оквир. Филтер је добио име по Рудолфу Е. Калману, који је био један од главних креатора његове теорије.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Basic_concept_of_Kalman_filtering.svg/400px-Basic_concept_of_Kalman_filtering.svg.png)
Овај дигитални филтер се понекад назива Стратонович–Калман–Бјусијев филтер, јер је то посебан случај општијег, нелинеарног филтра који је нешто раније развио совјетски математичар Руслан Стратонович.[2][3][4][5] Заправо, неке од једначина линеарног филтра за посебне случајеве појавиле су се у Стратоновичевим радовима који су објављени пре лета 1961. године, када се Калман састао са Стратоновичем током конференције у Москви.[6]
Калманово филтрирање[7] има бројне технолошке примене. Уобичајена примена је за навођење, навигацију и контролу возила, посебно летелица, свемирских летелица и бродова који су динамички позиционирани.[8] Штавише, Калманово филтрирање је концепт који се у знатној мери примењује у анализи временских серија које се користе за намене као што су обрада сигнала и економетрија. Калманово филтрирање је такође једна од главних тема роботског планирања и контроле кретања[9][10] и може се користити за оптимизацију путање.[11] Калманово филтрирање такође налази примену у моделовању контроле кретања централног нервног система. Због временског кашњења између издавања моторних команди и примања сензорне повратне информације, употреба Калманових филтера[12] пружа реалан модел за процену тренутног стања моторног система и издавање ажурираних команди.[13]
Алгоритам ради по двоступном процесу који има фазу предвиђања и фазу ажурирања. За фазу предвиђања, Калманов филтер производи процене варијабли тренутног стања, заједно са њиховим неизвесностима. Након што се посматра резултат следећег мерења (нужно оштећен са неком грешком, укључујући случајни шум), ове процене се ажурирају коришћењем пондерисаног просека, при чему се већа тежина даје проценама са већом сигурношћу. Алгоритам је рекурзиван. Он може да ради у реалном времену, користећи само тренутна улазна мерења и претходно израчунато стање, и његову матрицу несигурности; нису потребне додатне информације из прошлости.
Оптималност Калмановог филтрирања претпоставља да грешке имају нормалну (Гаусову) расподелу. Речима Рудолфа Е. Калмана: „Следеће претпоставке су направљене о случајним процесима: Физичке случајне појаве се могу сматрати последицама примарних случајних извора побуђених динамичких система. Претпоставља се да су примарни извори независни Гаусови случајни процеси са нултом средином; динамички системи ће бити линеарни.”[14] Без обзира на Гаусовство, међутим, ако су коваријансе процеса и мерења познате, онда је Калманов филтер најбољи могући линеарни процењивач у смислу минималне средње квадратне грешке,[15] иако можда постоје бољи нелинеарни проценитељи. Уобичајено је погрешно схватање (одржано у литератури) да се Калманов филтер не може ригорозно применити осим ако се претпостави да су сви процеси буке Гаусови.[16]
Такође су развијена проширења и генерализације методе, као што су проширени Калманов филтер и безмирисни Калманов филтер који раде на нелинеарним системима. Основа је скривени Марковљев модел такав да је простор стања латентних варијабли континуиран и да све латентне и посматране варијабле имају Гаусову дистрибуцију. Калманово филтрирање је успешно коришћено у фузији више сензора,[17] и дистрибуираним сензорским мрежама за развој дистрибуираног или консензусног Калмановог филтрирања.[18]
Референце
уреди- ^ Калман филтер
- ^ Стратоновицх, Р. L. (1959). Оптимум нонлинеар сyстемс wхицх бринг абоут а сепаратион оф а сигнал wитх цонстант параметерс фром ноисе. Радиофизика, 2:6, пп. 892–901.
- ^ Стратоновицх, Р. L. (1959). Он тхе тхеорy оф оптимал нон-линеар филтеринг оф рандом фунцтионс. Тхеорy оф Пробабилитy анд Итс Апплицатионс, 4, пп. 223–225.
- ^ Стратоновицх, Р. L. (1960) Апплицатион оф тхе Марков процессес тхеорy то оптимал филтеринг. Радио Енгинееринг анд Елецтрониц Пхyсицс, 5:11, пп. 1–19.
- ^ Стратоновицх, Р. L. (1960). Цондитионал Марков Процессес. Тхеорy оф Пробабилитy анд Итс Апплицатионс, 5, пп. 156–178.
- ^ Степанов, О. А. (15. 5. 2011). „Калман филтеринг: Паст анд пресент. Ан оутлоок фром Руссиа. (Он тхе оццасион оф тхе 80тх биртхдаy оф Рудолф Емил Калман)”. Гyросцопy анд Навигатион. 2 (2): 105. С2ЦИД 53120402. дои:10.1134/С2075108711020076.
- ^ Фаузи, Хилман; Батоол, Узма (15. 7. 2019). „А Тхрее-бар Трусс Десигн усинг Сингле-солутион Симулатед Калман Филтер Оптимизер”. Мекатроника. 1 (2): 98—102. С2ЦИД 222355496. дои:10.15282/мекатроника.в1и2.4991 .
- ^ Паул Зарцхан; Хоwард Мусофф (2000). Фундаменталс оф Калман Филтеринг: А Працтицал Аппроацх. Америцан Институте оф Аеронаутицс анд Астронаутицс, Инцорпоратед. ИСБН 978-1-56347-455-2.
- ^ Лора-Миллан, Јулио С.; Хидалго, Андрес Ф.; Роцон, Едуардо (2021). „Ан ИМУс-Басед Еxтендед Калман Филтер то Естимате Гаит Лоwер Лимб Сагиттал Кинематицс фор тхе Цонтрол оф Wеарабле Роботиц Девицес”. ИЕЕЕ Аццесс. 9: 144540—144554. Бибцоде:2021ИЕЕЕА...9н4540Л. ИССН 2169-3536. С2ЦИД 239938971. дои:10.1109/АЦЦЕСС.2021.3122160 . хдл:10261/254265 .
- ^ Калита, Диана; Лyакхов, Павел (децембар 2022). „Мовинг Објецт Детецтион Басед он а Цомбинатион оф Калман Филтер анд Медиан Филтеринг”. Биг Дата анд Цогнитиве Цомпутинг (на језику: енглески). 6 (4): 142. ИССН 2504-2289. дои:10.3390/бдцц6040142 .
- ^ Гхyселс, Ериц; Марцеллино, Массимилиано (2018). Апплиед Ецономиц Форецастинг усинг Тиме Сериес Метходс. Неw Yорк, НY: Оxфорд Университy Пресс. стр. 419. ИСБН 978-0-19-062201-5. ОЦЛЦ 1010658777.
- ^ Аззам, M. Абдуллах; Батоол, Узма; Фаузи, Хилман (15. 7. 2019). „Десигн оф ан Хелицал Спринг усинг Сингле-солутион Симулатед Калман Филтер Оптимизер”. Мекатроника. 1 (2): 93—97. С2ЦИД 221855079. дои:10.15282/мекатроника.в1и2.4990 .
- ^ Wолперт, Даниел; Гхахрамани, Зоубин (2000). „Цомпутатионал принциплес оф мовемент неуросциенце”. Натуре Неуросциенце. 3: 1212—7. ПМИД 11127840. С2ЦИД 736756. дои:10.1038/81497.
- ^ Калман, Р. Е. (1960). „А Неw Аппроацх то Линеар Филтеринг анд Предицтион Проблемс”. Јоурнал оф Басиц Енгинееринг. 82: 35—45. С2ЦИД 1242324. дои:10.1115/1.3662552.
- ^ Хумпхерyс, Јеффреy (2012). „А Фресх Лоок ат тхе Калман Филтер”. СИАМ Ревиеw. 54 (4): 801—823. дои:10.1137/100799666.
- ^ Ухлманн, Јеффреy; Јулиер, Симон (2022). „Гауссианитy анд тхе Калман Филтер: А Симпле Yет Цомплицатед Релатионсхип” (ПДФ). Јоурнал де Циенциа е Ингениерíа. 14 (1): 21—26. С2ЦИД 251143915. дои:10.46571/ЈЦИ.2022.1.2.
- ^ Ли, Wангyан; Wанг, Зидонг; Wеи, Гуолианг; Ма, Лифенг; Ху, Јун; Динг, Деруи (2015). „А Сурвеy он Мултисенсор Фусион анд Цонсенсус Филтеринг фор Сенсор Нетwоркс”. Дисцрете Дyнамицс ин Натуре анд Социетy (на језику: енглески). 2015: 1—12. ИССН 1026-0226. дои:10.1155/2015/683701 .
- ^ Ли, Wангyан; Wанг, Зидонг; Хо, Даниел W. C.; Wеи, Гуолианг (2019). „Он Боундеднесс оф Еррор Цоварианцес фор Калман Цонсенсус Филтеринг Проблемс”. ИЕЕЕ Трансацтионс он Аутоматиц Цонтрол. 65 (6): 2654—2661. ИССН 0018-9286. С2ЦИД 204196474. дои:10.1109/ТАЦ.2019.2942826.
Литература
уреди- Еиницке, Г.А. (2019). Смоотхинг, Филтеринг анд Предицтион: Естиматинг тхе Паст, Пресент анд Футуре (2нд ед.). Амазон Приме Публисхинг. ИСБН 978-0-6485115-0-2.
- Јинyа Су; Баибинг Ли; Wен-Хуа Цхен (2015). „Он еxистенце, оптималитy анд асyмптотиц стабилитy оф тхе Калман филтер wитх партиаллy обсервед инпутс”. Аутоматица. 53: 149—154. дои:10.1016/ј.аутоматица.2014.12.044 .
- Гелб, А. (1974). Апплиед Оптимал Естиматион. МИТ Пресс.
- Калман, Р.Е. (1960). „А неw аппроацх то линеар филтеринг анд предицтион проблемс” (ПДФ). Јоурнал оф Басиц Енгинееринг. 82 (1): 35—45. С2ЦИД 1242324. дои:10.1115/1.3662552. Архивирано из оригинала (ПДФ) 2008-05-29. г. Приступљено 2008-05-03.
- Калман, Р.Е.; Буцy, Р.С. (1961). „Неw Ресултс ин Линеар Филтеринг анд Предицтион Тхеорy”. Јоурнал оф Басиц Енгинееринг. 83: 95—108. ЦитеСеерX 10.1.1.361.6851 . С2ЦИД 8141345. дои:10.1115/1.3658902.
- Харвеy, А.C. (1990). Форецастинг, Струцтурал Тиме Сериес Моделс анд тхе Калман Филтер. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-40573-7.
- Роwеис, С.; Гхахрамани, З. (1999). „А Унифyинг Ревиеw оф Линеар Гауссиан Моделс” (ПДФ). Неурал Цомпутатион. 11 (2): 305—345. ПМИД 9950734. С2ЦИД 2590898. дои:10.1162/089976699300016674.
- Симон, D. (2006). Оптимал Стате Естиматион: Калман, Х Инфинитy, анд Нонлинеар Аппроацхес. Wилеy-Интерсциенце. Архивирано из оригинала 2010-12-30. г. Приступљено 2006-07-05.
- Wарwицк, К. (1987). „Оптимал обсерверс фор АРМА моделс”. Интернатионал Јоурнал оф Цонтрол. 46 (5): 1493—1503. дои:10.1080/00207178708933989.
- Биерман, Г.Ј. (1977). Фацторизатион Метходс фор Дисцрете Сеqуентиал Естиматион. Матхематицс ин Сциенце анд Енгинееринг. 128. Минеола, Н.Y.: Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-44981-4.
- Бозиц, С.M. (1994). Дигитал анд Калман филтеринг. Буттерwортх–Хеинеманн.
- Хаyкин, С. (2002). Адаптиве Филтер Тхеорy. Прентице Халл.
- Лиу, W.; Принципе, Ј.C.; Хаyкин, С. (2010). Кернел Адаптиве Филтеринг: А Цомпрехенсиве Интродуцтион. Јохн Wилеy.
- Манолакис, D.Г. (1999). Статистицал анд Адаптиве сигнал процессинг. Артецх Хоусе.
- Wелцх, Грег; Бисхоп, Гарy (1997). „СЦААТ: инцрементал трацкинг wитх инцомплете информатион” (ПДФ). СИГГРАПХ '97 Процеедингс оф тхе 24тх аннуал цонференце он Цомпутер грапхицс анд интерацтиве тецхниqуес. АЦМ Пресс/Аддисон-Wеслеy Публисхинг Цо. стр. 333—344. ИСБН 978-0-89791-896-1. С2ЦИД 1512754. дои:10.1145/258734.258876.
- Јазwински, Андреw Х. (1970). Стоцхастиц Процессес анд Филтеринг. Матхематицс ин Сциенце анд Енгинееринг. Неw Yорк: Ацадемиц Пресс. стр. 376. ИСБН 978-0-12-381550-7.
- Маyбецк, Петер С. (1979). „Цхаптер 1” (ПДФ). Стоцхастиц Моделс, Естиматион, анд Цонтрол. Матхематицс ин Сциенце анд Енгинееринг. 141-1. Неw Yорк: Ацадемиц Пресс. ИСБН 978-0-12-480701-3.
- Мориyа, Н. (2011). Пример то Калман Филтеринг: А Пхyсицист Перспецтиве. Неw Yорк: Нова Сциенце Публисхерс, Инц. ИСБН 978-1-61668-311-5.
- Дуник, Ј.; Симандл M.; Страка О. (2009). „Метходс фор Естиматинг Стате анд Меасуремент Ноисе Цоварианце Матрицес: Аспецтс анд Цомпарисон”. 15тх ИФАЦ Сyмпосиум он Сyстем Идентифицатион, 2009. Франце. стр. 372—377. ИСБН 978-3-902661-47-0. дои:10.3182/20090706-3-ФР-2004.00061.
- Цхуи, Цхарлес К.; Цхен, Гуанронг (2009). Калман Филтеринг wитх Реал-Тиме Апплицатионс. Спрингер Сериес ин Информатион Сциенцес. 17 (4тх изд.). Неw Yорк: Спрингер. стр. 229. ИСБН 978-3-540-87848-3.
- Спивеy, Бен; Хеденгрен, Ј. D.; Едгар, Т. Ф. (2010). „Цонстраинед Нонлинеар Естиматион фор Индустриал Процесс Фоулинг”. Индустриал & Енгинееринг Цхемистрy Ресеарцх. 49 (17): 7824—7831. дои:10.1021/ие9018116.
- Тхомас Каилатх; Али Х. Саyед; Бабак Хассиби (2000). Линеар Естиматион. Њ: Прентице–Халл. ИСБН 978-0-13-022464-4.
- Али Х. Саyед (2008). Адаптиве Филтерс. Њ: Wилеy. ИСБН 978-0-470-25388-5.
Спољашње везе
уреди- А Неw Аппроацх то Линеар Филтеринг анд Предицтион Проблемс, бy Р. Е. Калман, 1960
- Калман анд Баyесиан Филтерс ин Пyтхон. Опен соурце Калман филтеринг теxтбоок.
- Хоw а Калман филтер wоркс, ин пицтурес. Иллуминатес тхе Калман филтер wитх пицтурес анд цолорс
- Калман–Буцy Филтер, а дериватион оф тхе Калман–Буцy Филтер
- МИТ Видео Лецтуре он тхе Калман филтер на сајту YouTube
- Калман филтер ин Јавасцрипт. Опен соурце Калман филтер либрарy фор ноде.јс анд тхе wеб броwсер.
- Ан Интродуцтион то тхе Калман Филтер Архивирано 2021-02-24 на сајту Wayback Machine, SIGGRAPH 2001 Course, Greg Welch and Gary Bishop
- Kalman Filter webpage, with many links
- Kalman Filter Explained Simply, Step-by-Step Tutorial of the Kalman Filter with Equations
- „Kalman filters used in Weather models” (PDF). SIAM News. 36 (8). октобар 2003. Архивирано из оригинала (PDF) 2011-05-17. г. Приступљено 2007-01-27.
- Haseltine, Eric L.; Rawlings, James B. (2005). „Critical Evaluation of Extended Kalman Filtering and Moving-Horizon Estimation”. Industrial & Engineering Chemistry Research. 44 (8): 2451. doi:10.1021/ie034308l.
- Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library: Corresponds to the code in the research monograph "Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation" originally published by Academic Press in 1977. Republished by Dover.
- Matlab Toolbox implementing parts of Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library: UD / UDU' and LD / LDL' factorization with associated time and measurement updates making up the Kalman filter.
- Matlab Toolbox of Kalman Filtering applied to Simultaneous Localization and Mapping: Vehicle moving in 1D, 2D and 3D
- The Kalman Filter in Reproducing Kernel Hilbert Spaces A comprehensive introduction.
- Matlab code to estimate Cox–Ingersoll–Ross interest rate model with Kalman Filter Архивирано 2014-02-09 на сајту Wayback Machine: Цорреспондс то тхе папер "естиматинг анд тестинг еxпонентиал-аффине терм струцтуре моделс бy калман филтер" публисхед бy Ревиеw оф Qуантитативе Финанце анд Аццоунтинг ин 1999.
- Онлине демо оф тхе Калман Филтер. Демонстратион оф Калман Филтер (анд отхер дата ассимилатион метходс) усинг тwин еxпериментс.
- Ботелла, Гуиллермо; Мартíн х., Јосé Антонио; Сантос, Матилде; Меyер-Баесе, Уwе (2011). „ФПГА-Басед Мултимодал Ембеддед Сенсор Сyстем Интегратинг Лоw- анд Мид-Левел Висион”. Сенсорс. 11 (12): 1251—1259. Бибцоде:2011Сенсо..11.8164Б. ПМЦ 3231703 . ПМИД 22164069. дои:10.3390/с110808164 .
- Еxамплес анд хоw-то он усинг Калман Филтерс wитх МАТЛАБ А Туториал он Филтеринг анд Естиматион
- Еxплаининг Филтеринг (Естиматион) ин Оне Хоур, Тен Минутес, Оне Минуте, анд Оне Сентенце бy Yу-Цхи Хо
- Симо Сäрккä (2013). "Баyесиан Филтеринг анд Смоотхинг". Цамбридге Университy Пресс. Фулл теxт аваилабле он аутхор'с wебпаге https://users.aalto.fi/~ssarkka/.