Квантна исправка грешака

Квантна исправка грешака (енгл. Quantum error correction) је коришћена у квантном рачунарству да би заштитила квантне информације од грешака које су настале услед декохеренције и другог квантног шума. Квантна исправка грешке је од суштинске важности ако неко жели да постигне квантно рачунање које је толерантно на кварове које се може носити не само са шумом на ускладиштеној квантној информацији, већ такође и са неисправним квантним излазима, неисправном квантном припремом и неисправним мерама.

Класична исправка грешака употребљава сувишност ( редунданцију). Најједноставнији начин је да се информације сачувају више пута, и — ако се ове копије касније не слажу — само погледати већину гласова; претпоставите да смо копирали бит три пута. Претпоставимо даље да бучна грешка квари тробитно стање тако да је један бит једнак нули, али остала два су једнака један. Ако претпоставимо су бучне грешке независне и да се дешавају са неком вероватноћом п, највероватније је да је грешка једнобитна грешка и да преноси поруку на остале три. Могуће је да се двобитна грешка дешава и да је пренешена прука једнака трима нулама, али овај исход је мање вероватан од оног исхода изнад.

Копирање квантне информације није могуће због Теореме о не-клонирању. Ова теорема изгледа представља препреку да би се формулисала теорија квантне исправке грешака. Али, могуће је да се шире информације једног кубита у високо упетљано стање неколико (физичких) кубита. Питер Шор(енг. Петер Сор) је први открио ову методу формулисања квантне исправке грешака чувајући информације једног кубита на јако упетљано стање девет кубита. Квантна исправка грешке кода штити квантну информација од грешака ограниченог облика.

Класични кодови за исправљње грешака користе синдром мера да би дијагностиковали која грешка корумпира кодирано стање. Квантна исправка грешака такође користи синдром мера. Користимо вишекубитне мере које не ремете квантне информације у кодираном стању, али преузимају информацију о грешци. Мере синдрома могу утврдити да ли је кубит био оштећен и ако јесте, који. Штавише, исход ове операције (синдром) говори нам не само на који је физички кубит било утицано, већ и такође , на који од неколико могућих начина је било утицано. Касније контра-интуитивно на први поглед: Пошто је звук арбитраран ( произвољан), како може утицај шума бити један од само неколико јасних могућности? У већини кодова, ефекат је или бит флип или знак (фазе) флип, или оба (одгиварајући Паули матрицама X, З, и Y). Разлог томе је што мера синдрома има пројективни утицај квантног мерења. Тако да и ако је грешка због шума арбитрарна, може бити изражен као суперпозиција основних операција – основа грешке ( који је овде дат Паулијевим матрицама и индентитетом). Синдром мера "присиљава" кубите да се "одлуче" за одређену специфичну "Паули грешку" да се "деси", и синдром нам говори који, тако да можемо дозволити истом Паули оператору да поново делују на оштећеном кубиту да преокрене утицај грешке.

Мере синдрома нам говоре колико год је могуће о грешци која се догодила, али ништа о вредности која је складиштена на логичком кубиту — док у другом случају, мера би уништила сваку квантну суперпозицију овог логистичког кубита са другим кубитима у квантном рачунару.

Бит флип код

Код понављања делује у класичним каналима зато што су класични битови лаки за мерење и понављање. Међутим, у квантном каналу, то више није могуће због Теореме о не-клонирању, која забрањује креацију идентичних копија арбитрарног непознатом квантном стању. Тако да један једини кубит се не може понављати три пута као у претходном примеру, пошто ће било која мера кубита променити његову функцијју таласа. Упркос томе, у квантном раду на рачунару, постоји друга метода, наиме три-кубтни бит флип код. Мере синдрома упоредљиве су у перформансама са понављањем кода.

Qуантум цирцуит оф тхе бит флип цоде

Нека $|\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle$ буде арбитрарни кубит. Први корак три-кубитног бит флип кода је да упетљан кубит са два друга кубита користећи два ЦНОТ улазна кола са уносом $|0\rangle$. Резултат ће бити $|\psi '\rangle =\alpha _{0}|000\rangle +\alpha _{1}|111\rangle .$

Сада ће ови кубити бити послати кроз канал $E_{\text{bit}}$ где претпоставјамо да ће се десити барем један бит флип. На пример, у случају где је први кубит окренут, резултат ће бити $|\psi '_{r}\rangle =\alpha _{0}|100\rangle +\alpha _{1}|011\rangle$. Да би дијагностиковали бит флипове у било којем од могућих три кубита, који укључују четири пројекције оператора: $P_{0}=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|$

$P_{1}=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|$

$P_{2}=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|$

$P_{3}=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|$

Може бити добијено:

$\langle \psi '_{r}|P_{0}|\psi '_{r}\rangle =0$

$\langle \psi '_{r}|P_{1}|\psi '_{r}\rangle =1$

$\langle \psi '_{r}|P_{2}|\psi '_{r}\rangle =0$

$\langle \psi '_{r}|P_{3}|\psi '_{r}\rangle =0$

Тако да ће бити познато да синдром грешака одговара $P_{1}$.

Ова три кубитна флип кода могу исправити једну грешку уколико се највише на једној бит-флип-грешци дешава у каналу. Слично је са три бит понављаном коду у класичном рачунару.

Флип код знака

Qуантум цирцуит оф тхе пхасе флип цоде

Окренути битови су само једна врста грешке у класичном рачунару, али постоје такође друге могућности грешке са квантним рачунарима, окретање знака. Кроз преношење у каналу, релативни знаци између $|0\rangle$ и $|1\rangle$ могу постати преокренути. На пример, кубит у стању $|-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}$ може имати његов преокрет знака у $|+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}.$

Оригинално стање кубита

$|\psi \rangle =\alpha _{0}|+\rangle +\alpha _{1}|-\rangle$

Ће бити промењено у стање

$|\psi '\rangle =\alpha _{0}|{+}{+}{+}\rangle +\alpha _{1}|{-}{-}{-}\rangle .$

У Хадамардовој бази, окретање бита постаје окретње знака који постаје окретање бита. Нека $E_{\text{phase}}$ буде квантни канал који може узроковати највише једано окретање фазе. Онда се окретање бита од раније може опоравити $|\psi \rangle$ трансформишући се у Хадамардову базу пре и после трансмисије кроз $E_{\text{phase}}$.

Шоров код

Канал грешке може изазвати или преокретање бита, преокретање знака, или оба. Могуће је исправити оба типа грешака користећи један код, I Шор код обавља само то. Заправо, Шор код исправља арбитрарне једно-кубитне грешке.

Qуантум цирцуит оф тхе Схор цоде

Нека $E$ буде квантни канал који може арбитрарно покварити један кубит. Први, четврти и седми кубит су за код преокретањ знака, док три групе кубита (1,2,3), (4,5,6) и (7,8,9) су дизајниране за бит флип код. Са Шор кодом, кубитно стање $|\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle$ ће бити трансформисано у продукат од 9 кубита$|\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle$, где

$|0_{S}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )$

$|1_{S}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )$

Ако се бит флип грешка догоди кубиту, анализа синдрома ће бити извођена на сваком сету стања (1,2,3), (4,5,6), и (7,8,9), онда се исправља грешка.

Ако се тробитне флип групе (1,2,3), (4,5,6), и (7,8,9), посматрају као три уноса, онда Шор код струјно коло може бити смањено као код окретања знака, може такође поправити грешку окретања знака за један кубит.

Шоров код такође може исправити било какве арбитрарне грешке ( и обртање знака и бита) на једном кубиту. Ако је грешка по узору на унитарну трансформацију У, који ће деловати на кубит $|\psi \rangle$, онда $U$ може бити описано у форми

$U=c_{0}I+c_{1}\sigma _{x}+c_{2}\sigma _{y}+c_{3}\sigma _{z}$

где $c_{0}$,$c_{1}$,$c_{2}$, анд $c_{3}$ представљају комплексне константе, I је идентитет и Паули матрицама су дате

$\sigma _{x}={\biggl (}{\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}{\biggr )};$

$\sigma _{y}={\biggl (}{\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}}{\biggr )};$

$\sigma _{z}={\biggl (}{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}{\biggr )}$

Ако је У једнако I, онда се не дешава ниједна грешка. Ако је $U=\sigma _{x}$, дешава се грешка обртања бита.

Ако $U=\sigma _{z}$, дешава се грешка обртања знака. Ако $U=i\sigma _{y}$ онда и грешке обртања знака I бита се јављају. Због линеарности, следи да Шоров код може исправити арбитратне једнокубитне грешке.

Генерални кодови

Уопштено, квантни код за квантни канал ${\mathcal {E}}$ је потпростор ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {H}}$, где је ${\mathcal {H}}$ у Хилбертовом простору, као што постоји у другом квантном каналу ${\mathcal {R}}$ са

$({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {E}})(\rho )=\rho \quad \forall \rho =P_{\mathcal {C}}\rho P_{\mathcal {C}},$

где $P_{\mathcal {C}}$ представља ортогоналну пројекцију на ${\mathcal {C}}$. Овде је ${\mathcal {R}}$ познато као корекциона операција.

Недегенерисан код је онај за који различити елементи скупа грешака које је могуће исправити производе линеарно незавине резултате када се примењује на елементе кода. Ако одређени скуп исправљивих грешака производи ортогоналне резултате, код се сматра чистим.

Модели

Током времена, истраживачи су осмислили неколико кодова:

• Питер Шоров 9-кубитни код, такође познат као Шоров код, , кодира 1 логичку кубит у 9 физичких кубита и може исправити арбитрарне грешке у једном кубиту.
• Ендру Штин фје откриокод који ради ито са 7 уместо 9 кубита.
• Рејмонд Лафламе и сарадници су открили класу 5-кубитних кодова који обављају исту функцију, која такође има својства толерантности на грешке. 5-кубитни код је намањи могући код који штити један логички кубит од грешака које се дешавају на само једном кубиту.
• Генерализација овог концепта су ЦСС кодови, названи по њиховим проналазацима А. Р. Калдербанк(енг. А. Р. Цалдербанк), Питер Шор (енг. Петер Схор ) и Ендру Штин(енг. Андреw Стеане). Према квантној Хеминговој вези, кодирање једног јединог логичког кубита и обезбеђивање за арбитрарну корекцију грешке у једном једином кубиту захтева минимум 5 физичких кубита.
• Општија класа кодова (обухватајући претходно) су кодови стабилизатори, које је открио Данијел Готесман и А.Р. Калдербанк, Ерик Реинс, Питер Шор, и Н. Ј. А. Слоан; они су такође познати и као адитивни кодови.
• Новија идеја је Алексејев Китаев тополошки квантни код и општија идеја тополошког квантног рачунара.
• Тод Брун, Игор Деветак, анд Мин-Хсиу Хсиех су такође направили помоћни стабилизатор уплитања формализма као екстензију(додатак) стандардном стабилизатору формализма који укључује квантно запетљање који је дељено између пошиљиоца I примаоца.

Да ови кодови заиста дозвољавају квантне рачунице арбитрарне дужине је садржај тхресхолд тхеореме, коју су установили Мицхаел Бен-Ор и Дорит Ахаронов, који тврде да можете исправити све грешке ако се усресредите на квантне кодове као што су ЦСС кодови, то јест, поново кодирари сваки логички кубит истим кодом поново, и тако даље, на многим логаритмичким нивоима-под претпоставком да је стопа индивидуалних квантних капија испод одређеног прага; као у другом случају, покушаји да се измери синдром I исправе грешке ће увести још нових грешака које они могу исправити.

Од краја 2004, предвиђања за овај праг указују да ће бити виок од 1 до 3%, под претпоставком да је доступно довољно кубита.

Експериментална реализација

Постоје неколико експерименталних реализација ЦСС базираних кодова. Прва демонстрација је била са НМР кубитима. Последично, демонстрације су направљене са линеарном оптиком, заробљеним јонима I суперпреводним (трансмон) кубитима.

Други кодови који исправљају грешке су такође примењени, као онај што има за циљ да исправља губитак фотона, доминантни извор грешака у фотонским кубитним шемама.

Литература

• Даниел Лидар анд Тодд Брун, ур. (2013). „Qуантум Еррор Цоррецтион”. Цамбридге Университy Пресс. 
• Франк Гаитан (2008). „Qуантум Еррор Цоррецтион анд Фаулт Толерант Qуантум Цомпутинг”. Таyлор & Францис. 
• Фреедман, Мицхаел Х.; Меyер, Давид А.; Луо, Фенг: З₂-Сyстолиц фреедом анд qуантум цодес. Матхематицс оф qуантум цомпутатион, 287–320, Цомпут. Матх. Сер., Цхапман & Халл/ЦРЦ, Боца Ратон, ФЛ, 2002.
• Фреедман, Мицхаел Х.; Меyер, Давид А. „Пројецтиве плане анд планар qуантум цодес”. Фоунд. Цомпут. Матх. 2001 (3): 325—332. 
• Лассен, Микаел; Сабунцу, Метин; Хуцк, Алеxандер; Нисет, Јулиен; Леуцхс, Герд; Церф, Ницолас Ј.; Андерсен, Улрик L. (2010). „Qуантум оптицал цохеренце цан сурвиве пхотон лоссес усинг а цонтинуоус-вариабле qуантум ерасуре-цоррецтинг цоде”. Натуре Пхотоницс. 4: 10. Бибцоде:2010НаПхо...4...10W. дои:10.1038/нпхотон.2009.243. 

Спољашње везе

• Prospects
• Error-check breakthrough in quantum computing