Метода супституције

Метода супституције је метода решавања интеграла у којој се део интеграла замењује једноставнијим симболом (обично се користи латинично слово у), у циљу да би се добио интеграл који је лакше решити.

$\int {\frac {\ln {x}}{x}}dx=?$

$u=ln(x)$

$du={\frac {1}{x}}dx$

$xdu=dx$

$\int {\frac {ln(x)}{x}}dx=\int {\frac {u}{x}}xdu={\frac {u^{2}}{2}}+C$

$\int {\frac {ln(x)}{x}}dx={\frac {(\ln(x))^{2}}{2}}+C$

У неким случајевима мораће се решити за $x$

$\int 2x{\sqrt {5x-20}}dx=?$

$\omega =5x-20$

$d\omega =5dx$

${\frac {d\omega }{5}}=dx$

$x={\frac {\omega +20}{5}}$

$\int 2x{\sqrt {5x-20}}dx=\int 2\left({\frac {\omega +20}{5}}\right){\sqrt {\omega }}{\frac {d\omega }{5}}={\frac {2}{25}}\int (\omega +20){\sqrt {\omega }}d\omega ={\frac {2}{25}}\int (\omega {\sqrt {\omega }}+20{\sqrt {\omega }})d\omega ={\frac {2}{25}}\left(\int \omega {\sqrt {\omega }}d\omega +\int 20{\sqrt {\omega }}d\omega \right)$

${\frac {2}{25}}\left(\int \omega {\sqrt {\omega }}d\omega +\int 20{\sqrt {\omega }}d\omega \right)={\frac {2}{25}}\left({\frac {\omega ^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+20{\frac {\omega ^{\frac {3}{2}}}{\frac {3}{2}}}\right)+C$

$\int 2x{\sqrt {5x-20}}dx={\frac {2}{25}}\left({\frac {(5x-20)^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+20{\frac {(5x-20)^{\frac {3}{2}}}{\frac {3}{2}}}\right)+C$

Метода супституције се може користити за дефинисање нових антидеривата.

$\int \tan {x}dx=?$

$\int \tan {x}dx=\int {\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}dx$

$u=\cos {x}$

$du=-\sin {x}dx$

${\frac {du}{-sin{x}}}=dx$

$\int {\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}dx=\int {\frac {sin{x}}{u}}{\frac {du}{-\sin {x}}}=-\int {\frac {1}{u}}du=-\ln {u}+C$

$\int \tan {x}dx=\ln {cos{x}}+C$

Литература

• Бриггс, Wиллиам; Цоцхран, Лyле (2011), Цалцулус /Еарлy Трансценденталс (Сингле Вариабле изд.), Аддисон-Wеслеy, ИСБН 978-0-321-66414-3 
• Ферзола, Антхонy П. (1994), „Еулер анд дифферентиалс”, Тхе Цоллеге Матхематицс Јоурнал, 25 (2): 102–111, ЈСТОР 2687130, дои:10.2307/2687130, Архивирано из оригинала 07. 11. 2012. г., Приступљено 13. 11. 2022 
• Фремлин, D.Х. (2010), Меасуре Тхеорy, Волуме 2, Торрес Фремлин, ИСБН 978-0-9538129-7-4 .
• Хеwитт, Едwин; Стромберг, Карл (1965), Реал анд Абстрацт Аналyсис, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-04559-7 .
• Катз, V. (1982), „Цханге оф вариаблес ин мултипле интегралс: Еулер то Цартан”, Матхематицс Магазине, 55 (1): 3–11, ЈСТОР 2689856, дои:10.2307/2689856 
• Рудин, Wалтер (1987), Реал анд Цомплеx Аналyсис, МцГраw-Хилл, ИСБН 978-0-07-054234-1 .
• Сwокоwски, Еарл W. (1983), Цалцулус wитх аналyтиц геометрy (алтернате изд.), Приндле, Wебер & Сцхмидт, ИСБН 0-87150-341-7 
• Спивак, Мицхаел (1965), Цалцулус он Манифолдс, Wествиеw Пресс, ИСБН 978-0-8053-9021-6 .

Спољашње везе

• Интегратион бy субститутион ат Енцyцлопедиа оф Матхематицс
• Ареа формула ат Енцyцлопедиа оф Матхематицс