Мултиваријантна нормална расподела
У теорији вероватноће и статистици, мултиваријантна нормална расподела, мултиваријантна Гаусова расподела, или заједничка нормална расподела је генерализација једнодимензионалне (униваријантне) нормалне дистрибуције на више димензија. Једна дефиниција је да се рандомни вектор сматра к-варијантно нормално дистрибуираним ако свака линеарна комбинација његових k компонената има униваријантну нормалну дистрибуцију. Њен значај проистиче углавном из мултиваријантне централне граничне теореме. Мултиваријантна нормална дистрибуција често се користи за описивање, барем приближно, било којег скупа (могућих) корелисаних реално-вредносних радомних променљивих, од којих се свака групише око средње вредности.
Функција густине вероватноће Многштво узорака са мултиваријантном нормалном дистрибуцијом са и , приказани заједно са 3-сигма елипсе, две маргиналне дистрибуције, и два 1-д хистограма. | |
Нотација | |
---|---|
Параметри | μ ∈ Rk — локација Σ ∈ Rk × k — коваријанса (позитивна полудефинитивна матрица) |
Носитељ | x ∈ μ + span(Σ) ⊆ Rk |
ПДФ | постоји само кад је Σ поситивна-дефинитивна |
Просек | μ |
Модус | μ |
Варијанса | Σ |
Ентропија | |
МГФ | |
ЦФ | |
Кулбек-Лајблерова дивергенција | погледајте испод |
Нотација и параметризација
уредиМултиваријантна нормална дистрибуција k-димензионалног рандомног вектора може се записати на следећи начин:
или да се нагласи да је X k-димензионо,
са k-димензионим средњим вектором
таквом да Инверзна матрица коваријантне матрице се зове матрица прецизности и означава се са .
Дефиниције
уредиСтандардни нормални рандомни вектор
уредиРеални рандомни вектор се зове стандардни нормални рандомни вектор ако су све његове компоненте независне и свака је нормално дистрибуирана рандомна променљива са нултом средњом вредности и јединичном варијансом, и.е. ако за свако .[1]:п. 454
Центрирани нормални рандомни вектор
уредиРеални рандомни вектор се зове центрирани нормални рандомни вектор ако постоји детерминистичка матрица таква да има исту дистрибуцију као где је стандардни нормални рандомни вектор са компонената.[1]:п. 454
Нормални рандомни вектор
уредиРеални рандомни вектор се зове нормални рандомни вектор ако постоји рандомни -вектор , који је стандардни нормални рандомни вектор, -вектор , и матрица , таква да је .[2]:п. 454[1]:п. 455
Формално:
|
Коваријантна матрица је .
У дегенеративном случају где је коваријантна матрица сингуларна, кореспондирајућа дистрибуција нема густину. Овај случај се често појављује у статистици; на пример, у расподели вектора резидуала у регресији обичних најмањих квадрата. Такође треба имати на уму да углавном нису независни; они се могу видети као резултат примене матрице на колекцију независних Гаусових променљивих .
Еквивалентне дефиниције
уредиСледеће дефиниције су еквивалентне са горњом дефиницијом. Рандомни вектор има мултиваријатну нормалну дистрибуцију ако задовољава један од следећих услова.
- Свака линеарна комбинација његових компоненти је нормално дистрибуирана. Другим речима, за сваки константни вектор , рандомна променљива има униваријатну нормалну дистрибуцију, где је униваријатна нормална дистрибуција са нултом варијансом тачка масе на својој средњој вредности.
- Постоји k-вектор и симетрична, позитивна полудефинитивна матрица , таква да карактеристична функција од је
Сферина нормална дистрибуција може да буде карактерисана као јединствена дистрибуција, при чему су компоненте независне у сваком ортогоналном координатном систему.[3][4]
Референце
уреди- ^ а б в Лапидотх, Амос (2009). А Фоундатион ин Дигитал Цоммуницатион. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-19395-5.
- ^ Гут, Аллан (2009). Ан Интермедиате Цоурсе ин Пробабилитy. Спрингер. ИСБН 978-1-441-90161-3.
- ^ Кац, M. (1939). „Он а цхарацтеризатион оф тхе нормал дистрибутион”. Америцан Јоурнал оф Матхематицс. 61 (3): 726—728. ЈСТОР 2371328. дои:10.2307/2371328.
- ^ Синз, Фабиан; Герwинн, Себастиан; Бетхге, Маттхиас (2009). „Цхарацтеризатион оф тхе п-генерализед нормал дистрибутион”. Јоурнал оф Мултивариате Аналyсис. 100 (5): 817—820. дои:10.1016/ј.јмва.2008.07.006.
Литература
уреди- Ренцхер, А.C. (1995). Метходс оф Мултивариате Аналyсис. Неw Yорк: Wилеy.
- Тонг, Y. L. (1990). Тхе мултивариате нормал дистрибутион. Спрингер Сериес ин Статистицс. Неw Yорк: Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-1-4613-9657-4. дои:10.1007/978-1-4613-9655-0.
- Даwид, А.П. (1981). „Соме матриx-вариате дистрибутион тхеорy: Нотатионал цонсидератионс анд а Баyесиан апплицатион”. Биометрика. 68 (1): 265–274. ЈСТОР 2335827. МР 614963. дои:10.1093/биомет/68.1.265.
- Дутиллеул, П (1999). „Тхе МЛЕ алгоритхм фор тхе матриx нормал дистрибутион”. Јоурнал оф Статистицал Цомпутатион анд Симулатион. 64 (2): 105–123. дои:10.1080/00949659908811970.
- Арнолд, С.Ф. (1981), Тхе тхеорy оф линеар моделс анд мултивариате аналyсис, Неw Yорк: Јохн Wилеy & Сонс, ИСБН 0471050652
- Гоодман, Н.Р. (1963). „Статистицал аналyсис басед он а цертаин мултивариате цомплеx Гауссиан дистрибутион (ан интродуцтион)”. Тхе Анналс оф Матхематицал Статистицс. 34 (1): 152—177. ЈСТОР 2991290. дои:10.1214/аомс/1177704250 .
- Пицинбоно, Бернард (1996). „Сецонд-ордер цомплеx рандом вецторс анд нормал дистрибутионс”. ИЕЕЕ Трансацтионс он Сигнал Процессинг. 44 (10): 2637—2640. дои:10.1109/78.539051.
- Wоллсцхлаегер, Даниел. "СхотГроупс." Хоyт. РДоцументатион, н.д. Wеб. https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt.
- Галлагер, Роберт Г (2008). "Цирцуларлy-Сyмметриц Гауссиан Рандом Вецторс." (н.д.): н. паг. Пре-принт. Wеб. 9 http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.
- Махаланобис, Прасанта Цхандра (1936). „Он тхе генералисед дистанце ин статистицс” (ПДФ). Процеедингс оф тхе Натионал Институте оф Сциенцес оф Индиа. 2 (1): 49—55. Приступљено 2016-09-27.
- Де Маессцхалцк, Р.; Јоуан-Римбауд, D.; Массарт, D. L. (2000). „Тхе Махаланобис дистанце”. Цхемометрицс анд Интеллигент Лабораторy Сyстемс. 50 (1): 1—18. дои:10.1016/с0169-7439(99)00047-7.
- Ким, M. Г. (2000). „Мултивариате оутлиерс анд децомпоситионс оф Махаланобис дистанце”. Цоммуницатионс ин Статистицс – Тхеорy анд Метходс. 29 (7): 1511—1526. С2ЦИД 218567835. дои:10.1080/03610920008832559.
- Кессy, Агнан; Леwин, Алеx; Стриммер, Корбиниан (2018-10-02). „Оптимал Wхитенинг анд Децоррелатион”. Тхе Америцан Статистициан. 72 (4): 309—314. ИССН 0003-1305. С2ЦИД 55075085. дои:10.1080/00031305.2016.1277159.
- Хуберт, Миа; Дебруyне, Мицхиел (2010). „Минимум цоварианце детерминант”. WИРЕс Цомпутатионал Статистицс (на језику: енглески). 2 (1): 36—43. ИССН 1939-5108. С2ЦИД 123086172. дои:10.1002/wицс.61.
- Ван Аелст, Стефан; Роуссееуw, Петер (2009). „Минимум волуме еллипсоид”. Wилеy Интердисциплинарy Ревиеwс: Цомпутатионал Статистицс (на језику: енглески). 1 (1): 71—82. ИССН 1939-5108. С2ЦИД 122106661. дои:10.1002/wицс.19.
- Етхерингтон, Тхомас Р. (2021-05-11). „Махаланобис дистанцес фор ецологицал ницхе моделлинг анд оутлиер детецтион: имплицатионс оф сампле сизе, еррор, анд биас фор селецтинг анд параметерисинг а мултивариате лоцатион анд сцаттер метход”. ПеерЈ (на језику: енглески). 9: е11436. ИССН 2167-8359. дои:10.7717/пеерј.11436.
- МцЛацхлан, Геоффреy (4. 8. 2004). Дисцриминант Аналyсис анд Статистицал Паттерн Рецогнитион. Јохн Wилеy & Сонс. стр. 13—. ИСБН 978-0-471-69115-0.
- Етхерингтон, Тхомас Р. (2019-04-02). „Махаланобис дистанцес анд ецологицал ницхе моделлинг: цоррецтинг а цхи-сqуаред пробабилитy еррор”. ПеерЈ (на језику: енглески). 7: е6678. ИССН 2167-8359. ПМЦ 6450376 . ПМИД 30972255. дои:10.7717/пеерј.6678.
- Фарбер, Орен; Кадмон, Ронен (2003). „Ассессмент оф алтернативе аппроацхес фор биоцлиматиц моделинг wитх специал емпхасис он тхе Махаланобис дистанце”. Ецологицал Моделлинг (на језику: енглески). 160 (1–2): 115—130. дои:10.1016/С0304-3800(02)00327-7 .
- Критзман, M.; Ли, Y. (2019-04-02). „Скуллс, Финанциал Турбуленце, анд Риск Манагемент”. Финанциал Аналyстс Јоурнал (на језику: енглески). 66 (5): 30—41. С2ЦИД 53478656. дои:10.2469/фај.в66.н5.3.
- „Портфолио Оптимизер”. портфолиооптимизер.ио/. Приступљено 2022-04-23.
- Котз, Самуел; Надарајах, Саралеес (2004). Мултивариате т Дистрибутионс анд Тхеир Апплицатионс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0521826549.
- Цхерубини, Умберто; Луциано, Елиса; Веццхиато, Wалтер (2004). Цопула метходс ин финанце. Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 978-0470863442.
- Ротх, Мицхаел (17. 4. 2013). „Он тхе Мултивариате т Дистрибутион” (ПДФ). Аутоматиц Цонтрол гроуп. Линкöпин Университy, Сwеден. Архивирано (ПДФ) из оригинала 31. 7. 2022. г. Приступљено 1. 6. 2022.
- Ботев, З. I.; L'Ецуyер, П. (6. 12. 2015). „Еффициент пробабилитy естиматион анд симулатион оф тхе трунцатед мултивариате студент-т дистрибутион”. 2015 Wинтер Симулатион Цонференце (WСЦ). Хунтингтон Беацх, ЦА, УСА: ИЕЕЕ. стр. 380—391. дои:10.1109/WСЦ.2015.7408180.
- Генз, Алан (2009). Цомпутатион оф Мултивариате Нормал анд т Пробабилитиес. Лецтуре Нотес ин Статистицс. 195. Спрингер. ИСБН 978-3-642-01689-9. дои:10.1007/978-3-642-01689-9. Архивирано из оригинала 2022-08-27. г. Приступљено 2017-09-05.
- Муирхеад, Робб (1982). Аспецтс оф Мултивариате Статистицал Тхеорy. УСА: Wилеy. стр. 32—36 Тхеорем 1.5.4. ИСБН 978-0-47 1-76985-9.
- Цорнисх, Е А (1954). „Тхе Мултивариате т-Дистрибутион Ассоциатед wитх а Сет оф Нормал Сампле Девиатес.”. Аустралиан Јоурнал оф Пхyсицс. 7: 531—542. дои:10.1071/ПХ550193 .