Нелинеарни систем

У математици и науци, нелинеарни систем је систем у коме промена излаза није пропорционална промени на улазу. Нелинеарни проблеми су важни за инжењере, биологе, физичаре, математичаре и многе друге научнике, јер је већина система по својој природи нелинеарна. Нелинеарни динамички системи, који описују промене променљивих током времена, могу се чинити хаотичним, непредвидљивим или контраинтуитивним, за разлику од много једноставнијих линеарних система.

Типично, понашање нелинеарног система описано је у математици нелинеарним системом једначина, које су скуп истовремених једначина у којима се непознате (или непознате функције у случају диференцијалних једначина) појављују као променљиве полинома са степеном већим од један или у аргументу функције која није полином степена један. Другим речима, у нелинеарном систему једначина једначине које треба решити не могу се записати као линеарна комбинација непознатих променљивих или функција које се појављују у њима. Системи се могу дефинисати као нелинеарни, без обзира да ли се познате линеарне функције појављују у једначинама. Конкретно, диференцијална једначина је линеарна ако је линеарна у односу на непознату функцију и њене деривате, чак и ако је нелинеарна у погледу осталих променљивих које се у њој појављују.

Како је нелинеарне динамичке једначине тешко решити, нелинеарни системи се обично апроксимирају линеарним једначинама (линеараризација). То добро функционише до неке тачности и одређеног опсега улазних вредности, мада се неки занимљиви феномени, попут солитона, хаоса, и сингуларитета, скривају линеаризацијом. Из овог следи да се неки аспекти динамичког понашања нелинеарног система могу чинити контратуктивним, непредвидљивим или чак хаотичним. Иако такво хаотично понашање може да личи на случајно понашање, оно заправо није рандомно. На пример, неки аспекти временских прилика изгледају хаотично, при чему једноставне промене у једном делу система производе сложене ефекте широм система. Ова нелинеарност је један од разлога зашто су прецизне дугорочне метереолошке прогнозе немогуће са садашњом технологијом.

Неки аутори користе термин нелинеарна наука за изучавање нелинеарних системса. Други то оспоравају, попут Станислава Улама: „Кориштење израза као што је нелинеарна наука слично је позивању на највећи део зоологије као на проучавање неслоновских животиња.”

Дефиниција

У математици, линеарна мапа (или линеарна функција) $f(x)$ је она која задовољава следећа својства:

• Адитивност или принцип суперпозиције: $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
• Хомогеност: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

Адитивност подразумева хомогеност за свако рационално α, и, за непрекидне функције, за свако реално α. За комплексно α, хомогеност не следи из адитивности. На пример, антилинеарна мапа је адитивна, али није хомогена. Услови адитивности и хомогености се често комбинују у принципу суперпозиције

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

Једначина написана као

$f(x)=C$

се назива линеарном ако је $f(x)$ линеарна мапа (као што је горе дефинисанао), а иначе нонлинеарна. Једначина се назива хомогеном ако је $C=0$.

Дефиниција $f(x)=C$ је веома генерална у смислу да $x$ може да буде било који сензибилни математички објекат (број, вектор, функција, етц.), и функција $f(x)$ може дословно да буде било које мапирање, укључујући интеграцију или диференцијацију са асоцираним ограничењима (као што су граничне вредности). Ако $f(x)$ садржи диференцијацију у односу на $x$, резултат ће бити диференцијална једначина.

Нелинеарне алгебрске једначине

Главни чланци: Алгебарска једначина и Систем полиномских једначина

Нелинеарне алгебарске једначине, које се такође називају полиномским једначинама, дефинисане су изједначавањем полинома (степена већег од један) са нулом. На пример,

$x^{2}+x-1=0\,.$

За појединачну полиномску једначину, алгоритми налажење корена се могу користити за налажење решења једначине (тј. скупа вредности променљивих које задовољавају једначину). Међутим, системи алгебарских једначина су компликованији; њихово проучавање је једна од мотивација поља алгебарске геометрије, тегобне гране савремене математике. Често је тешко чак и да се одлучи да ли одређени алгебрски систем има комплексна решења (погледајте теорему нула). Ипак, у случају система са ограниченим бројем сложених решења, ови системи полиномних једначина су сада добро изучени и постоје ефикасне методе за њихово решавање.

Литература

• Диедерицх Хинрицхсен; Антхонy Ј. Притцхард (2005). Матхематицал Сyстемс Тхеорy I - Моделлинг, Стате Спаце Аналyсис, Стабилитy анд Робустнесс. Спрингер Верлаг. ИСБН 9783540441250. 
• Јордан, D. W.; Смитх, П. (2007). Нонлинеар Ординарy Дифферентиал Еqуатионс (фоуртх изд.). Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-920824-1. 
• Кхалил, Хассан К. (2001). Нонлинеар Сyстемс. Прентице Халл. ИСБН 978-0-13-067389-3. 
• Креyсзиг, Ерwин (1998). Адванцед Енгинееринг Матхематицс. Wилеy. ИСБН 978-0-471-15496-9. 
• Сонтаг, Едуардо (1998). Матхематицал Цонтрол Тхеорy: Детерминистиц Фините Дименсионал Сyстемс. Сецонд Едитион. Спрингер. ИСБН 978-0-387-98489-6. 
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Алгебраиц еqуатион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Wеисстеин, Ериц W. „Алгебраиц Еqуатион”. МатхWорлд. 
• Цоx, Давид; Јохн Литтле; Донал О'Схеа (1997). Идеалс, вариетиес, анд алгоритхмс : ан интродуцтион то цомпутатионал алгебраиц геометрy анд цоммутативе алгебра (2нд изд.). Неw Yорк: Спрингер. ИСБН 978-0387946801. 
• Стурмфелс, Бернд (2002). Солвинг сyстемс оф полyномиал еqуатионс. Провиденце, РИ: Америцан Матхематицал Соц. ИСБН 0821832514. 
• Аубрy, П.; Маза, M. Морено (1999). „Триангулар Сетс фор Солвинг Полyномиал Сyстемс: а Цомпаративе Имплементатион оф Фоур Метходс”. Ј. Сyмб. Цомпут. 28 (1–2): 125—154. дои:10.1006/јсцо.1999.0270. 
• Дахан, Xавиер; Морено Маза, Марц; Сцхост, Ериц; Wу, Wенyуан; Xие, Yузхен (2005). „Лифтинг тецхниqуес фор триангулар децомпоситионс” (ПДФ). Процеедингс оф ИСААЦ 2005. АЦМ Пресс. стр. 108—105. Архивирано из оригинала (ПДФ) 10. 08. 2017. г. Приступљено 15. 08. 2019. 
• Роуиллиер, Фабрице (1999). „Солвинг Зеро-Дименсионал Сyстемс Тхроугх тхе Ратионал Унивариате Репресентатион”. Аппл. Алгебра Енг. Цоммун. Цомпут. 9 (9): 433—461. дои:10.1007/с002000050114. 
• Саугата Басу; Рицхард Поллацк; Марие-Франçоисе Роy (2006). Алгоритхмс ин реал алгебраиц геометрy, цхаптер 12.4. Спрингер-Верлаг. 
• Лазард, Даниел (2009). „Тхиртy yеарс оф Полyномиал Сyстем Солвинг, анд ноw?”. Ј. Сyмб. Цомпут. 44 (3): 2009. дои:10.1016/ј.јсц.2008.03.004. 
• Версцхелде, Јан (1999). „Алгоритхм 795: ПХЦпацк: А генерал-пурпосе солвер фор полyномиал сyстемс бy хомотопy цонтинуатион” (ПДФ). АЦМ Трансацтионс он Матхематицал Софтwаре. 25 (2): 251—276. дои:10.1145/317275.317286. Архивирано из оригинала (ПДФ) 30. 08. 2017. г. Приступљено 15. 08. 2019. 
• Роуиллиер, Ф.; Зиммерман, П. (2004). „Еффициент исолатион оф полyномиал'с реал роотс”. Јоурнал оф Цомпутатионал анд Апплиед Матхематицс. 162 (1): 33—50. Бибцоде:2004ЈЦоАМ.162...33Р. дои:10.1016/ј.цам.2003.08.015. 
• Аллигоод, К.Т.; Сауер, Т.; Yорке, Ј.А. (1997). Цхаос: ан интродуцтион то дyнамицал сyстемс. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-94677-1. 
• Бакер, Г. L. (1996). Цхаос, Сцаттеринг анд Статистицал Мецханицс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-39511-3. 
• Бадии, Р.; Полити А. (1997). Цомплеxитy: хиерарцхицал струцтурес анд сцалинг ин пхyсицс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-66385-4. 
• Бунде; Хавлин, Схломо, ур. (1996). Фрацталс анд Дисордеред Сyстемс. Спрингер. ИСБН 978-3642848704.  анд Бунде; Хавлин, Схломо, ур. (1994). Фрацталс ин Сциенце. Спрингер. ИСБН 978-3-540-56220-7. 
• Цоллет, Пиерре; Јеан-Пиерре Ецкманн (1980). Итератед Мапс он тхе Интервал ас Дyнамицал Сyстемс. Биркхаусер. ИСБН 978-0-8176-4926-5. 
• Деванеy, Роберт L. (2003). Ан Интродуцтион то Цхаотиц Дyнамицал Сyстемс (2нд изд.). Wествиеw Пресс. ИСБН 978-0-8133-4085-2. 
• Фелдман, D. П. (2012). Цхаос анд Фрацталс: Ан Елементарy Интродуцтион. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-956644-0. Архивирано из оригинала 31. 12. 2019. г. Приступљено 15. 08. 2019. 
• Голлуб, Ј. П.; Бакер, Г. L. (1996). Цхаотиц дyнамицс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-47685-0. 
• Гуцкенхеимер, Јохн; Холмес, Пхилип (1983). Нонлинеар Осциллатионс, Дyнамицал Сyстемс, анд Бифурцатионс оф Вецтор Фиелдс. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-90819-9. 
• Гулицк, Деннy (1992). Енцоунтерс wитх Цхаос. МцГраw-Хилл. ИСБН 978-0-07-025203-5. 
• Гутзwиллер, Мартин (1990). Цхаос ин Цлассицал анд Qуантум Мецханицс. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-97173-5. 
• Хоовер, Wиллиам Грахам (2001) [1999]. Тиме Реверсибилитy, Цомпутер Симулатион, анд Цхаос. Wорлд Сциентифиц. ИСБН 978-981-02-4073-8. 
• Каутз, Рицхард (2011). Цхаос: Тхе Сциенце оф Предицтабле Рандом Мотион. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-959458-0. 
• Киел, L. Доуглас; Еллиотт, Еуел W. (1997). Цхаос Тхеорy ин тхе Социал Сциенцес. Персеус Публисхинг. ИСБН 978-0-472-08472-2. 
• Моон, Францис (1990). Цхаотиц анд Фрацтал Дyнамицс. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-471-54571-2. 
• Отт, Едwард (2002). Цхаос ин Дyнамицал Сyстемс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-01084-9. 
• Строгатз, Стевен (2000). Нонлинеар Дyнамицс анд Цхаос. Персеус Публисхинг. ИСБН 978-0-7382-0453-6. 
• Спротт, Јулиен Цлинтон (2003). Цхаос анд Тиме-Сериес Аналyсис. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-850840-3. 
• Тéл, Тамáс; Груиз, Мáртон (2006). Цхаотиц дyнамицс: Ан интродуцтион басед он цлассицал мецханицс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-83912-9. 
• Тесцхл, Гералд (2012). Ординарy Дифферентиал Еqуатионс анд Дyнамицал Сyстемс. Провиденце: Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-8218-8328-0. 
• Тхомпсон ЈМ, Стеwарт ХБ (2001). Нонлинеар Дyнамицс Анд Цхаос. Јохн Wилеy анд Сонс Лтд. ИСБН 978-0-471-87645-8. 
• Туфилларо; Реиллy (1992). Ан еxпериментал аппроацх то нонлинеар дyнамицс анд цхаос. Америцан Јоурнал оф Пхyсицс. 61. Аддисон-Wеслеy. стр. 958. Бибцоде:1993АмЈПх..61..958Т. ИСБН 978-0-201-55441-0. дои:10.1119/1.17380. 
• Wиггинс, Степхен (2003). Интродуцтион то Апплиед Дyнамицал Сyстемс анд Цхаос. Спрингер. ИСБН 978-0-387-00177-7. 
• Заславскy, Георге M. (2005). Хамилтониан Цхаос анд Фрацтионал Дyнамицс. Оxфорд Университy Пресс. ИСБН 978-0-19-852604-9. 
• Цхристопхе Летеллиер, Цхаос ин Натуре, Wорлд Сциентифиц Публисхинг Цомпанy, 2012, ISBN 978-981-4374-42-2.
• Abraham, Ralph; et al. (2000). Абрахам, Ралпх Х.; Уеда, Yосхисуке, ур. Тхе Цхаос Авант-Гарде: Мемоирс оф тхе Еарлy Даyс оф Цхаос Тхеорy. Wорлд Сциентифиц Сериес он Нонлинеар Сциенце Сериес А. 39. Wорлд Сциентифиц. Бибцоде:2000цагм.боок.....А. ИСБН 978-981-238-647-2. дои:10.1142/4510. 
• Барнслеy, Мицхаел Ф. (2000). Фрацталс Еверywхере. Морган Кауфманн. ИСБН 978-0-12-079069-2. 
• Бирд, Рицхард Ј. (2003). Цхаос анд Лифе: Цомплеxитy анд Ордер ин Еволутион анд Тхоугхт. Цолумбиа Университy Пресс. ИСБН 978-0-231-12662-5. 
• Јохн Бриггс анд Давид Пеат, Турбулент Миррор: : Ан Иллустратед Гуиде то Цхаос Тхеорy анд тхе Сциенце оф Wхоленесс, Харпер Перенниал 1990, 224 пп.
• Јохн Бриггс анд Давид Пеат, Севен Лифе Лессонс оф Цхаос: Спиритуал Wисдом фром тхе Сциенце оф Цханге, Харпер Перенниал 2000, 224 пп.
• Цуннингхам, Лаwренце А. (1994). „Фром Рандом Wалкс то Цхаотиц Црасхес: Тхе Линеар Генеалогy оф тхе Еффициент Цапитал Маркет Хyпотхесис”. Георге Wасхингтон Лаw Ревиеw. 62: 546. 
• Предраг Цвитановић, Универсалитy ин Цхаос, Адам Хилгер 1989, 648 пп.
• Леон Гласс анд Мицхаел C. Мацкеy, Фром Цлоцкс то Цхаос: Тхе Рхyтхмс оф Лифе, Принцетон Университy Пресс 1988, 272 пп.
• Јамес Глеицк, Цхаос: Макинг а Неw Сциенце, Неw Yорк: Пенгуин, 1988. 368 пп.
• Јохн Гриббин (2005-01-27). Дееп Симплицитy. Пенгуин Пресс Сциенце. Пенгуин Боокс. 
• L Доуглас Киел, Еуел W Еллиотт (ед.), Цхаос Тхеорy ин тхе Социал Сциенцес: Фоундатионс анд Апплицатионс, Университy оф Мицхиган Пресс, 1997, 360 пп.
• Арвинд Кумар, Цхаос, Фрацталс анд Селф-Органисатион; Неw Перспецтивес он Цомплеxитy ин Натуре , Натионал Боок Труст, 2003.
• Ханс Лауwериер, Фрацталс, Принцетон Университy Пресс, 1991.
• Едwард Лоренз, Тхе Ессенце оф Цхаос, Университy оф Wасхингтон Пресс, 1996.
• Алан Марсхалл (2002) Тхе Унитy оф Натуре: Wхоленесс анд Дисинтегратион ин Ецологy анд Сциенце, Империал Цоллеге Пресс: Лондон
• Давид Пеак анд Мицхаел Фраме, Цхаос Ундер Цонтрол: Тхе Арт анд Сциенце оф Цомплеxитy, Фрееман, 1994.
• Хеинз-Отто Пеитген анд Диетмар Саупе (Едс.), Тхе Сциенце оф Фрацтал Имагес, Спрингер 1988, 312 пп.
• Цлиффорд А. Пицковер, Цомпутерс, Паттерн, Цхаос, анд Беаутy: Грапхицс фром ан Унсеен Wорлд , Ст Мартинс Пр 1991.
• Цлиффорд А. Пицковер, Цхаос ин Wондерланд: Висуал Адвентурес ин а Фрацтал Wорлд, Ст Мартинс Пр 1994.
• Илyа Пригогине анд Исабелле Стенгерс, Ордер Оут оф Цхаос, Бантам 1984.
• Хеинз-Отто Пеитген анд П. Х. Рицхтер, Тхе Беаутy оф Фрацталс : Имагес оф Цомплеx Дyнамицал Сyстемс, Спрингер 1986, 211 пп.
• Давид Руелле, Цханце анд Цхаос, Принцетон Университy Пресс 1993.
• Иварс Петерсон, Неwтон'с Цлоцк: Цхаос ин тхе Солар Сyстем, Фрееман, 1993.
• Иан Роулстоне; Јохн Норбурy (2013). Инвисибле ин тхе Сторм: тхе роле оф матхематицс ин ундерстандинг wеатхер. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 978-0691152721. 
• Давид Руелле, Цхаотиц Еволутион анд Странге Аттрацторс, Цамбридге Университy Пресс, 1989.
• Манфред Сцхроедер, Фрацталс, Цхаос, анд Поwер Лаwс, Фрееман, 1991.
• Петер Смитх, Еxплаининг Цхаос, Цамбридге Университy Пресс, 1998.
• Иан Стеwарт, Доес Год Плаy Дице?: Тхе Матхематицс оф Цхаос , Блацкwелл Публисхерс, 1990.
• Стевен Строгатз, Сyнц: Тхе емергинг сциенце оф спонтанеоус ордер, Хyперион, 2003.
• Yосхисуке Уеда, Тхе Роад То Цхаос, Аериал Пр, 1993.
• M. Митцхелл Wалдроп, Цомплеxитy : Тхе Емергинг Сциенце ат тхе Едге оф Ордер анд Цхаос, Симон & Сцхустер, 1992.
• Антонио Саwаyа, Финанциал Тиме Сериес Аналyсис : Цхаос анд Неуродyнамицс Аппроацх, Ламберт, 2012.

Спољашње везе

• Command and Control Research Program (CCRP)
• New England Complex Systems Institute: Concepts in Complex Systems
• Nonlinear Dynamics I: Chaos at MIT's OpenCourseWare Архивирано на сајту Wayback Machine (20. новембар 2008)
• Nonlinear Model Library Архивирано на сајту Wayback Machine (19. децембар 2008) – (in MATLAB) a Database of Physical Systems
• The Center for Nonlinear Studies at Los Alamos National Laboratory