Сопствене вредности и сопствени вектори

У линеарној алгебри, сопствени вектор, својствени вектор или карактеристични вектор линеарне трансформације је ненулти вектор који се мења једино скаларним фактором кад се линеарне трансформације примене на њега. Формалније, ако је Т линеарна трансформација из векторског простора V над пољем Ф у самог себе и ако је в вектор у V који није нулти вектор, онда је в својствени вектор од Т ако је Т(в) скаларни умножак од в. Ово стање се може записати као једначина

$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$

где је λ скалар у пољу Ф, познат као својствена вредност, карактеристична вредност, или карактеристични корен асоциран са својственим вектором в.

Ако је векторски простор V коначних димензија, онда се линеарна трансформација Т може представити као квадратна матрица А, а вектор в помоћу колонског вектора, приказујући горње мапирање као матрично множење са леве стране и скалирање колонских вектора са десне стране једначине

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .$

Постоји директна подударност између квадратних матрица облика n-са-n и линеарних трансформација из n-димензионалног векторског простора у самог себе, за све базе векторског простора. Из тог разлога, еквивалентно је дефинисати сопствене вредности и својствене векторе користећи било језик матрица или језик линеарних трансформација.

Геометријски гледано, својствени вектор који кореспондира реалној ненултој својственој вредности, усмерен је у правцу који је одређен трансформацијом, а својствена вредност је фактор којим се мења његова дужина. Ако је својствена вредност негативна, смер је обрнут.

Преглед

Својствене вредности и својствени вектори имају значајну улогу у анализи линеарних трансформација. Њихови енглески називи eigenvalue и eigenvector садрже префикс eigen- који је усвојен из немачке речи eigen за „властити”, „карактеристичан”. Првобитно коришћени за проучавање главних оса ротационог кретања крутих тела, својствене вредности и својствени вектори имају широк спектар примена, на пример у анализи стабилности, анализи вибрација, атомским орбиталима, препознавању лица и дијагонализацији матрице.

У суштини, својствени вектор v линеарне трансформације T је ненулти вектор који, када се T примени на њега, не мења правац. Примена T на својствени вектор скалира својствени вектор само за скаларну вредност λ, својствену вредност. Овај услов се може написати као једначина

$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$

звана својствена једначина. Генерално, λ може да буде било који скалар. На пример, λ може да буде негативно, у ком случају својствени вектор има супротан смер као део скалирања, или може бити нула или комплексан.

У овом пресликавању црвена стрелица мења смер, док плава то не чини. Плава стрелица је својствени вектор овог пресека, јер не мења правац, и пошто је њена дужина непромењена, њена својствена вредност је 1.

Пример Мона Лизе на слици десно пружа једноставну илустрацију. Свака тачка на слици може бити представљена као вектор умерен од центра слике до те тачке. Линеарна трансформација у овом примеру назива се пресликавање. Тачке у горњој половини померају се удесно, а тачке у доњој половини померају се улево пропорционално свом растојању од хоризонталне осе која пролази кроз средину слике. Вектори који упућују на сваку тачку на оригиналној слици су према томе нагнути десно или лево и учињени дужим или краћим трансформацијом. Тачке дуж хоризонталне осе се уопште не померају када се примени ова трансформација. Према томе, било који вектор који је усмерен директно на десно или лево без вертикалне компоненте је својствени вектор ове трансформације, јер мапирање не мења његов правац. Штавише, сви својствени вектори имају својствену вредност једнаку јединици, јер мапирање не мења њихову дужину.

Линеарне трансформације могу имати различите облике, мапирајући векторе у различитим векторским просторима, тако да и својствени вектори могу имати различите облике. На пример, линеарна трансформација може бити диференцијални оператор као што је ${\tfrac {d}{dx}}$, у ком случају су својствени вектори функције које се називају својствене функције које су скалиране тим диференцијалним оператором, као што је

${\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.$

Алтернативно, линеарна трансформација може бити у облику n са n матрице, у ком случају својствени вектори су n са 1 матрице које се такође називају својственим векторима. Ако је линеарна трансформација изражена у облику n са n матрице A, онда се горња једначина својствених вредности за линеарну трансформацију може написати као множење матрица

$Av=\lambda v,$

где је својствени вектор v једна n са 1 матрица. За матрицу, својствене вредности и својствени вектори могу се користити за разлагање матрице, на пример дијагонализацијом.

Својствене вредности и својствени вектори пружају основу за многе уско повезане математичке концепте, који су именовани на аналоган начин:

• Скуп свих својствених вектора линеарне трансформације, сваки упарен са одговарајућом својственом вредношћу, назива се сопствени систем те трансформације.
• Скуп свих својствених вектора T који одговарају истој својственој вредности, заједно са нултим вектором, назива се својствени простор или karakteristični prostor од T.
• Ако скуп својствених вектора T чини базу домена T, онда се ова база назива својственом базом.

Литература

• Акивис, Маx А.; Голдберг, Владислав V. (1969), Тенсор цалцулус, Руссиан, Сциенце Публисхерс, Мосцоw 
• Алдрицх, Јохн (2006), „Еигенвалуе, еигенфунцтион, еигенвецтор, анд релатед термс”, Ур.: Јефф Миллер, Еарлиест Кноwн Усес оф Соме оф тхе Wордс оф Матхематицс, Приступљено 2006-08-22 
• Алеxандров, Павел С. (1968), Лецтуре нотес ин аналyтицал геометрy, Руссиан, Сциенце Публисхерс, Мосцоw 
• Антон, Хоwард (1987), Елементарy Линеар Алгебра (5тх изд.), Неw Yорк: Wилеy, ИСБН 0-471-84819-0 
• Беаурегард, Раyмонд А.; Фралеигх, Јохн Б. (1973), А Фирст Цоурсе Ин Линеар Алгебра: wитх Оптионал Интродуцтион то Гроупс, Рингс, анд Фиелдс, Бостон: Хоугхтон Миффлин Цо., ИСБН 0-395-14017-X 
• Беезер, Роберт А. (2006), А фирст цоурсе ин линеар алгебра, Фрее онлине боок ундер ГНУ лиценце, Университy оф Пугет Соунд 
• Беттеридге, Харолд Т. (1965), Тхе Неw Цасселл'с Герман Дицтионарy, Неw Yорк: Функ & Wагналл, ЛЦЦН 58-7924 
• Боwен, Раy M.; Wанг, Цхао-Цхенг (1980), Линеар анд мултилинеар алгебра, Пленум Пресс, Неw Yорк, ИСБН 0-306-37508-7 
• Бурден, Рицхард L.; Фаирес, Ј. Доуглас (1993), Нумерицал Аналyсис (5тх изд.), Бостон: Приндле, Wебер анд Сцхмидт, ИСБН 0-534-93219-3 
• Цартер, Тамара А.; Тапиа, Рицхард А.; Папацонстантиноу, Анне, Линеар Алгебра: Ан Интродуцтион то Линеар Алгебра фор Пре-Цалцулус Студентс, Рице Университy, Онлине Едитион, Приступљено 2008-02-19 
• Цохен-Танноудји, Цлауде (1977), „Цхаптер II. Тхе матхематицал тоолс оф qуантум мецханицс”, Qуантум мецханицс, Јохн Wилеy & Сонс, ИСБН 0-471-16432-1 
• Цуртис, Цхарлес W. (1999), Линеар Алгебра: Ан Интродуцторy Аппроацх (4тх изд.), Спрингер, ИСБН 0-387-90992-3 
• Деммел, Јамес W. (1997), Апплиед нумерицал линеар алгебра, СИАМ, ИСБН 0-89871-389-7 
• Фралеигх, Јохн Б. (1976), А Фирст Цоурсе Ин Абстрацт Алгебра (2нд изд.), Реадинг: Аддисон-Wеслеy, ИСБН 0-201-01984-1 
• Фралеигх, Јохн Б.; Беаурегард, Раyмонд А. (1995), Линеар алгебра (3рд изд.), Аддисон-Wеслеy Публисхинг Цомпанy, ИСБН 0-201-83999-7 
• Фриедберг, Степхен Х.; Инсел, Арнолд Ј.; Спенце, Лаwренце Е. (1989), Линеар алгебра (2нд изд.), Енглеwоод Цлиффс, Неw Јерсеy 07632: Прентице Халл, ИСБН 0-13-537102-3 
• Гелфанд, I. M. (1971), Лецтуре нотес ин линеар алгебра, Руссиан, Сциенце Публисхерс, Мосцоw 
• Гохберг, Исраел; Ланцастер, Петер; Родман, Леиба (2005), Индефините линеар алгебра анд апплицатионс, Басел-Бостон-Берлин: Биркхäусер Верлаг, ИСБН 3-7643-7349-0 
• Голуб, Гене Ф.; ван дер Ворст, Хенк А. (2000), „Еигенвалуе цомпутатион ин тхе 20тх центурy”, Јоурнал оф Цомпутатионал анд Апплиед Матхематицс, 123: 35—65, Бибцоде:2000ЈЦоАМ.123...35Г, дои:10.1016/С0377-0427(00)00413-1 
• Голуб, Гене Х.; Ван Лоан, Цхарлес Ф. (1996), Матриx цомпутатионс (3рд изд.), Јохнс Хопкинс Университy Пресс, Балтиморе, Марyланд, ИСБН 978-0-8018-5414-9 
• Греуб, Wернер Х. (1975), Линеар Алгебра (4тх изд.), Спрингер-Верлаг, Неw Yорк, ИСБН 0-387-90110-8 
• Халмос, Паул Р. (1987), Фините-дименсионал вецтор спацес (8тх изд.), Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-90093-4 
• Хаwкинс, Т. (1975), „Цауцхy анд тхе спецтрал тхеорy оф матрицес”, Хисториа Матхематица, 2: 1—29, дои:10.1016/0315-0860(75)90032-4 
• Хефферон, Јим (2001), Линеар Алгебра, Онлине боок, Ст Мицхаел'с Цоллеге, Цолцхестер, Вермонт, УСА 
• Херстеин, I. Н. (1964), Топицс Ин Алгебра, Wалтхам: Блаисделл Публисхинг Цомпанy, ИСБН 978-1114541016 
• Хорн, Рогер А.; Јохнсон, Цхарлес Ф. (1985), Матриx аналyсис, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 0-521-30586-1 
• Клине, Моррис (1972), Матхематицал тхоугхт фром анциент то модерн тимес, Оxфорд Университy Пресс, ИСБН 0-19-501496-0 
• Корн, Гранино А.; Корн, Тхереса M. (2000), „Матхематицал Хандбоок фор Сциентистс анд Енгинеерс: Дефинитионс, Тхеоремс, анд Формулас фор Референце анд Ревиеw”, Неw Yорк: МцГраw-Хилл (2нд Ревисед изд.), Довер Публицатионс, Бибцоде:1968мхсе.боок.....К, ИСБН 0-486-41147-8 
• Куттлер, Кеннетх (2007), Ан интродуцтион то линеар алгебра (ПДФ), Онлине е-боок ин ПДФ формат, Бригхам Yоунг Университy, Архивирано из оригинала (ПДФ) 07. 08. 2008. г., Приступљено 30. 06. 2019 
• Ланцастер, П. (1973), Матриx тхеорy, Руссиан, Мосцоw, Руссиа: Сциенце Публисхерс 
• Ларсон, Рон; Едwардс, Бруце Х. (2003), Елементарy линеар алгебра (5тх изд.), Хоугхтон Миффлин Цомпанy, ИСБН 0-618-33567-6 
• Липсцхутз, Сеyмоур (1991), Сцхаум'с оутлине оф тхеорy анд проблемс оф линеар алгебра, Сцхаум'с оутлине сериес (2нд изд.), Неw Yорк: МцГраw-Хилл Цомпаниес, ИСБН 0-07-038007-4 
• Меyер, Царл D. (2000), Матриx аналyсис анд апплиед линеар алгебра, Социетy фор Индустриал анд Апплиед Матхематицс (СИАМ), Пхиладелпхиа, ИСБН 978-0-89871-454-8 
• Неринг, Евар D. (1970), Линеар Алгебра анд Матриx Тхеорy (2нд изд.), Неw Yорк: Wилеy, ЛЦЦН 76091646 
• (језик: руски)Пиголкина, Т. С.; Схулман, V. С. (1977). „Еигенвалуе”. Ур.: Виноградов, I. M. Матхематицал Енцyцлопедиа. 5. Мосцоw: Совиет Енцyцлопедиа. 
• Пресс, Wиллиам Х.; Теуколскy, Саул А.; Веттерлинг, Wиллиам Т.; Фланнерy, Бриан П. (2007), Нумерицал Реципес: Тхе Арт оф Сциентифиц Цомпутинг (3рд изд.), ИСБН 9780521880688 
• Роман, Стевен (2008), Адванцед линеар алгебра (3рд изд.), Неw Yорк: Спрингер Сциенце + Бусинесс Медиа, ЛЛЦ, ИСБН 978-0-387-72828-5 
• Схарипов, Руслан А. (1996), Цоурсе оф Линеар Алгебра анд Мултидименсионал Геометрy: тхе теxтбоок, Бибцоде:2004матх......5323С, ИСБН 5-7477-0099-5, арXив:матх/0405323  
• Схилов, Георги Е. (1977), Линеар алгебра, Транслатед анд едитед бy Рицхард А. Силверман, Неw Yорк: Довер Публицатионс, ИСБН 0-486-63518-X 
• Схорес, Тхомас С. (2007), Апплиед линеар алгебра анд матриx аналyсис, Спрингер Сциенце+Бусинесс Медиа, ЛЛЦ, ИСБН 0-387-33194-8 
• Странг, Гилберт (1993), Интродуцтион то линеар алгебра, Wеллеслеy-Цамбридге Пресс, Wеллеслеy, Массацхусеттс, ИСБН 0-9614088-5-5 
• Странг, Гилберт (2006), Линеар алгебра анд итс апплицатионс, Тхомсон, Броокс/Цоле, Белмонт, Цалифорниа, ИСБН 0-03-010567-6 

Спољашње везе

• What are Eigen Values? – non-technical introduction from PhysLink.com's "Ask the Experts"
• Eigen Values and Eigen Vectors Numerical Examples – Tutorial and Interactive Program from Revoledu.
• Introduction to Eigen Vectors and Eigen Values – lecture from Khan Academy
• Хилл, Рогер (2009). „λ – Еигенвалуес”. Сиxтy Сyмболс. Брадy Харан фор тхе Университy оф Ноттингхам. 
• „А Бегиннер'с Гуиде то Еигенвецторс”. Дееплеарнинг4ј. 2015. Архивирано из оригинала 21. 07. 2018. г. Приступљено 30. 06. 2019. 
• Essence of linear algebra, chapter 10 – A visual explanation with 3Blue1Brown
• Matrix Eigenvectors Calculator

Теорија

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Еиген валуе”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Еиген вецтор”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• „Eigenvalue (of a matrix)”. PlanetMath. 
• Eigenvector – Wolfram MathWorld
• Eigen Vector Examination working applet
• Same Eigen Vector Examination as above in a Flash demo with sound
• Computation of Eigenvalues
• Нумерицал солутион оф еигенвалуе проблемс Едитед бy Зхаојун Баи, Јамес Деммел, Јацк Донгарра, Аxел Рухе, анд Хенк ван дер Ворст}-
• Eigenvalues and Eigenvectors on the Ask Dr. Math forums: [1], [2]

Демонстрациони аплети

• Java applet about eigenvectors in the real plane
• Wolfram Language functionality for Eigenvalues, Eigenvectors and Eigensystems