Aristotelov točak
Aristotelov točak je fizičko-matematički paradoks opisan u knjizi „Mehanika”, koja se smatra Aristotelovim delom (4. vek pne)[1].
Paradoks posmatra dva povezana točka, jedan unutar drugog, sa zajedničkim centrom. Kada se spoljni točak kreće bez klizanja na ravni i napravi pun obrt, njegova putanja je jednaka dužini njegovog obima. U ovom slučaju, putanja unutrašnjeg točka je potpuno ista, iz čega se može pogrešno zaključiti da su njihovi obimi (i, shodno tome, prečnici) jednaki[2].
O ovom paradoksu raspravljali su mnogi istaknuti fizičari i matematičari, uključujući Galilea, Dekarta i Ferma. Prvu tačnu analizu dao je Žan-Žak Dortu de Meran 1715. godine.
Analaza i rešenja
urediParadoks je da se manji unutrašnji krug pomera za 2πR, (obim većeg spoljašnjeg kruga poluprečnika R), a ne za sopstveni obim. Ako bi se unutrašnji krug kotrljao odvojeno, pomerio bi se za 2πr, (sopstveni obim sa poluprečnikom r). Unutrašnji krug nije odvojen već je čvrsto povezan sa većim.
Prvo rešenje
urediAko manji krug zavisi od većeg (slučaj 1), kretanje većeg kruga primorava manji da pređe veći obim. Ako veći krug zavisi od manjeg (slučaj 2), onda kretanje manjeg kruga primorava veći krug da pređe obim manjeg kruga. Ovo je najjednostavnije rešenje.
Drugo rešenje
uredi
Krugovi pre i posle jednog okretanja, pokazujući kretanje centra, Pb i Ps, pri čemu Pb i Ps počinju i završavaju se na vrhu njihovih krugova. Zelena crtica je kretanje centra. Plava crtica pokazuje kretanje Pb. Crvena crtica pokazuje kretanje Ps-a. Ps-ov put je očigledno kraći od Pb-ovog. Što je Ps bliži centru, to je njegova putanja kraća, direktnija i bliža zelenoj liniji.
Ovo rešenje razmatra prelazak sa početne na krajnju poziciju. Neka je Pb tačka na većem krugu, a Ps tačka na manjem krugu, obe na istom poluprečniku. Radi praktičnosti, pretpostavite da su obe direktno ispod centra, analogno obema kazaljkama na satu koji pokazuju ka šest. I Pb i Ps putuju cikloidnom putanjom dok se kotrljaju zajedno za jedan obrt[3].
Dok svaki putuje 2πR horizontalno od početka do kraja, Ps-ov cikloidni put je kraći i efikasniji od Pb-ovog. Pb putuje sve dalje iznad i dalje ispod putanje centra – jedinog pravog – nego Ps.
Da su Pb i Ps negde drugde u svojim krugovima, zakrivljene putanje bi bile iste dužine. Sumirajući, manji krug se kreće horizontalno 2πR jer bilo koja tačka na manjem krugu putuje kraćom, a samim tim i direktnijom putanjom od bilo koje tačke na većem krugu.
Izvori
uredi- ^ Drabkin, Israel E. (1950). „Aristotle's Wheel: Notes on the History of a Paradox”. Osiris (na jeziku: engleski). 9: 162—198. ISSN 0369-7827. doi:10.1086/368528.
- ^ Heath, Thomas L. (2003). A manual of Greek mathematics (Dover ed., republ izd.). Mineola, NY: Dover Publ. ISBN 978-0-486-43231-1.
- ^ Weisstein, Eric W. „Cycloid”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2024-07-11.