Bezuov stav

Bezuov stav je jedna od algebarskih teorema koja definiše deljivost dva polinoma pri specijalnom slučaju kada je delilac oblika $x-\alpha$. Može se upotrebiti za rastavljanje polinoma na činioce. Dobio je ime po francuskom matematičaru Etjenu Bezuu.

Teorema (Bezuov stav). Neka je dat polinnom $P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}\;(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} )$, i neka je dat polinom $Q(x)=x-\alpha \;(\alpha \in \mathbb {R} )$, tada polinom $P(x)$ pri deljenju polinomom $Q(x)$ daje ostatak $P(\alpha )$. Specijalno ako je $P(\alpha )=0$ polinom $P(x)$ je deljiv polinomom $Q(x)$.

Dokaz. Pri opštem slučaju, deljenje dva polinoma se može zapisati kao:

$P(x)=B(x)\cdot Q(x)+R$

Gde je $B(x)$ neki polinom koji predstavlja količnik, a $R$ ostatak pri deljenju polinoma $P(x)$ sa $Q(x)$. Zamenjivanjem $Q(x)=x-\alpha$ se dobija:

$P(x)=B(x)(x-\alpha )+R$

Konačno, pri slučaju $x=\alpha$ se dobija

$P(\alpha )=B(\alpha )(\alpha -\alpha )+R,$

odnosno, $P(\alpha )=R$ što je i trebalo dokazati.

Primer

Ako uzmemo polinom:

$X^{2}+3X+2\,$

Uzećemo jedini slobodan član, a to je u ovom slučaju broj 2 i odredićemo njegove pozitivne i negativne delioce (1, -1, 2,-2). Ove delioce ćemo zamenjivati za H. Delićemo jednačinu sa (H-n(broj sa čijom smo zamenom dobili nulu)). Određujemo:

$p(x)=X^{2}+3X+2\,$

Za +1 dobija se:

$p(+1)=1+3+2=6\neq 0\,$

Sledi da polinom nije deljiv sa X-1.

Za -1 dobija se:

$p(-1)=1-3+2=0\,$

Sledi da je polinom deljiv sa X+1.

Za +2 dobija se:

$p(+2)=4+6+2=12\neq 0\,$

Sledi da polinom nije deljiv sa X-2.

Za -2 dobija se:

$p(-2)=4-6+2=0\,$

Sledi da je polinom deljiv sa X+2.

Nakon ove neobavezne provere, deljenje izgleda ovako:

Deljenje sa X+1

$(X^{2}+3X+2):(X+1)=X+2\,$

$-(X^{2}+X)\,$

$2X+2\,$

$-(2X+2)\,$

$0\,$

Provera deljenja

$(X+2)(X+1)=X^{2}+2X+X+2=X^{2}+3X+2\,$

Deljenje sa X-1

$(X^{2}+3X+2):(X-1)=X+4\,$ i ostatak $6\,$

$-(X^{2}-X)\,$

$4X+2\,$

$-(4X-4)\,$

$6\,$

Provera deljenja

$(X+4)(X-1)+6=X^{2}+4X-X-4+6=X^{2}+3X+2\,$

Deljenje sa X+2:

$(X^{2}+3X+2):(X+2)=X+1\,$

$-(X^{2}+2X)\,$

$X+2\,$

$-(X+2)\,$

$0\,$

Provera deljenja

$(X+1)(X+2)=X^{2}+X+2X+2=X^{2}+3X+2\,$

Deljenje sa X-2

$(X^{2}+3X+2):(X-2)=X+5\,$ i ostatak $12\,$

$-(X^{2}-2X)\,$

$5X+2\,$

$-(5X-10)\,$

$12\,$

Provera deljenja

$(X+5)(X-2)+12=X^{2}+5X-2X-10+12=X^{2}+3X+2\,$

Vidi još

• Hornerova šema

Literatura

• Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-4541-2.