Blok brojeva do 10

Blok brojeva do 10, početni blok brojeva, predstavlja jednu od najznačajnijih tema u početnoj nastavi matematike. U okviru ovog bloka učenici stiču prva znanja o prirodnim brojevima, uče da broje, usvajaju pojmove relacija i operacija i rješavaju prve matematičke zadatke. Ovo je blok brojeva koji je temelj za sticanje znanja u cjelokupnoj nastavi matematike. Brojevne blokove prvi je uveo Fridrih Eberhard fon Rohov. On je uveo blokove brojeva ovim redom: od 1 do 10; od 1 do 100; od 1 do 1000, ... Brojevne slike kojima se kodiraju mentalne predstave vezane za početne brojeve uveo je F. I. Buse. Počinje se sa najmanjim blokom brojeva do 5 već u okviru koga se uvode znaci « manje» i « više» i gdje se začinju operacije sabiranja i oduzimanja, a samim tim pojavljuju znaci za ove dvije operacije i znak jednakosti . Zadržavanje u okviru najmanjeg bloka, je prije svega opravdano činjenicom da djeca pogledom - bez prebrojavanja razlikuju jednočlane, dvočlane i tročlane skupove, pa i one koji se podesnim ilustrovanjnjem « vide» kao 3+1, 2+2 , 2+3» .« Tako u ovim koracima» , smatra Marjanović, « akcenat nije na sračunavanju već na uvježbavanju pisanja i korišćenja operacijskih i relacijskih znakova . Kada se obradi ovaj najmanji blok brojeva prelazi se na blok brojeva do 10 jer, djeca već imaju znanje iz bloka brojeva do 5, pa će biti lakše obraditi sve ostale brojeve, tj. brojeve od 6 do 10. U obradi prve desetice oni izdvajaju tri međusobno povezana dijela:

• pripremni period
• numeracija brojeva i
• sabiranje i odzimanje.

S obzirom na to da se prirodni brojevi na javljaju nezavisno jedan od drugog (3, 10, 2, 5, itd. ) već se jedino mogu razumjeti kao elementi uređenog niza 1, 2, 3, . . . , obradi prirodnih brojeva treba pristupiti redom ( jedan po jedan broj niza - monografski)uz primjenu deskriptivne metode.

Blok brojeva do 10

U ovaj blok brojeva spadaju brojevi koji se zapisuju jednom cifrom, osim najvećeg broja u ovom bloku koji se zapisuje sa dvije cifre - to je broj 10. Cifre predstavljaju konvencionalne simbole koji svojim oblikom ne sugerišu značenje broja koji predstavljaju. Ovi brojevi u dekadnom brojnom sistemu imaju ulogu elemenata čijim kombinovanjem može predstaviti drugi proizvoljni prirodni broj. Obrada bloka brojeva do 10 prolazi kroz sljedeće :

• formiranje pojma prirodnog broja
• relacije
• operacije i
• rješavanje zadataka

Formiranje pojma prirodnog broja

Prva istraživanja koja su obavljena o ovom problemu javljaju se krajem prošlog vijeka. Početna nastava matematike zauzima dominantno mjesto u izgradnji i razvijanju mišljenja učenika. Mišljenje se u psihologiji definiše kao mentalna aktivnost operisanja simbolima (znacima) , kao što su opažaji, predstave, pojmovi i drugi doživljaji koji reprezentatuju naše iskustvo. Najznačajniji među njima jesu pojmovi. Koriste se kao sredstvo kojima se manipuliše, ali se i formiraju. U psihologiji, pod pojmom se podrazumjeva misaoni odraz osobina koje su zajedničke za objekat, grupu predmeta i pojava. Za pojam je karakterističan skup svojstava koji ga odlikuju. Mišljenjem se saznaju različite strane objekata, vrši se upoređivanje po sličnosti i različitosti, uspostavljaju se odnosi među objektima, grupišu se sličnosti, uočava ono što je konstantno i promjenljivo. Specifičnost matematičkog mišljenja treba tražiti u matematičkim pojmovima koji se izgrađuju tim mišljenjem. Misaone operacije koje se najčešće koriste u početnoj nastavi matematike jesu: analiza, sinteza, apstrakcija, generalizacija, konkretizacija, specijalizacija i upoređivanje. Bez misaonih operacija nema ni matematičkog mišljenja, a ni mišljenja uopšte. Analizom se vrši misaono raščlanjivanje realnih predmeta na sastavne dijelove, ili na svojstva. Sinteza, nasuprot analizi, predstavlja misaono sastavljanje dijelova u cjelinu. Apstrakcija predstavlja misaono izdvajanje suštinskih svojstava, veza i odnosa i istovremeno odbacivanje nebitnih i manje značajnih svojstava, vrši se i idealizacija tih svojstava, prelazi se na granične forme koje više ne postoje u stvarnosti. Konkretizacija i specijalizacija igraju veliku ulogu u usvajanju matematičkih pojmova na uzrastu 7 – 11 godina, kada su djeca još na nivou konkretnih operacija. Cilj konkretizacije je da djeca lakše mogu da usvoje složene apstraktne i logičke strukture. Specijalizacija predstavlja misaonu operaciju pomoću koje se prenose svojstva koja važe za neki širi skup na njegov pravni podskup. Upoređivanje leži u osnovi drugih misaonih operacija. Pomoću upoređivanja misaono se uspostavljaju sličnosti i razlike među posmatranim pojavama. Uspješnosti usvajanja matematičkih sadržaja i razvijanju matematičkog mišenja kod učenika u početnoj nastavi matematike doprinosi dobro poznavanjwe faza razvoja njihovog mišljenja. Prema Pijažeu, postoje tri osnovne faze u intelektualnom razvoju djeteta. Ove faze ne treba shvatiti kao striktno odvojene, jer je mentalni razvoj kontinuirani proces. Faze mentalnog razvoja koje je predložio Pijaže su :

• Preoperativna faza (do 6 godina)
• Nivo konkretnih operacija (7 – 11. g. )
• Nivo formalnih operacija (11 – 14. g. )
• U prvoj fazi mentalnog razvoja djeca svoje zaključke ne mogu da povezuju u jednu cjelinu. Osnovna karakteristika ove faze jeste nesposobnost za izvođenje inverznih operacija (" vraćanje unazad" ), tj. mišljenje nije reverzibilno. Bez reverzibilnog mišljenja učenici ne mogu da razumiju sabiranje i oduzimanje (inverzna operacija sabiranju).
• Glavne promjene u mišljenju djeteta javljaju se oko polaska u osnovnu školu. Odlučujuća prekretnica u mantalnom razvoju ogleda se u javljanju konkretnih operacija, složenih mentalnih operacija poput dodavanja, oduzimanja, klasifikovanja, serijacije itd. koje omogućavaju djetetu da uradi « u glavi » ono što je nekada moglo da uradi samo direktno manipulišući predmetima. Sve ove operacije su reverzibilne, tj. obrtanjem akcije stvari se mogu vratiti na početno stanje, ali su još uvijek vezane za pojedinačno iskustvo i ne važe za verbalno iskazane hipoteze. Na ovom uzrastu počinju da se obrazuju operacije koje su nazvane konkretnim jer se direktno odnose na objekte. Mišljenje postaje organizovanije i fleksibilnije. Dijete može unaprijed da razmišlja kako akcije mogu promjeniti predmete i da se zatim u mislima vrati na početak, na to kakve se svari u tom trenutku. To su interiorizovane akcije, kao što su mentalno poređenje velična većeg broja predmenta, koordinisanje dva gledišta ili stavljanje predmeta u oštije kategorije čiji su oni članovi. Dijete sada može da mentalno izvržava moguće akcije na realnim spoljašnjim stvarima i događajima. U ovoj fazi (uzrast od prvog do četvrtog razreda osnovne škole) dijete može da zamisli više materijalnih skupova, da izdvoji zajedničke osobine posmatranih objekata, upoređuje predmete po veličini, traži uzroke mnogim pojavama itd. Operacije na ovom nivou uzrasta vrše se konkretnim materijalnim objektima. Djeca se u ovom periodu odlikuju sposobnošću da uoče nepromjenljivost nekih objekata realnog svijeta pri izvijesnim operacijama (npr. dužina kanapa se ne mijenja kako god da ga savijemo). Sposobna su da vrše operacije unazad. Zahvaljujući reverzibilnosti, dijete je sposobno za niz saznajnih operacija: grupisanje, klasifikaciju, shvatanje serija itd. Sve ovo stoji u osnovi sposobnosti za shvatanje pojma broja, brojevnog niza i elementarnih matematičkih operacija. Mišljenje na ovom stadijumu odlikuje slijedeće: decentracija, (sposobnost da se istovremeno vodi računa o više aspekata situacije) , konzervacija (sposobnost shvatawa konstantnosti kvantitativnih svojstava predmeta nezavisno od promjene u njihovom izgledu) i reverzibilnost mišljenja. Javljaju se operacije negacije, reciprociteta i identiteta. Egocentrizam u mišljenju ogleda se u nesposobnosti razlikovanja misli o realnosti i same realnosti.
• Treći period razvoja ( nivo formalnih operacija ) odlikuje se potpunim oslobađanjem od konkretnih objekata, a rasuđivanje se odvija prema zakonima formalne logike, zaključuje se iz pretpostavki.

Neodvojivi od matematičkog mišljenja, posmatraju se i matematički pojmovi, kao njegovi operandi. U psihologiji, pod pojmom se podrazumjeva misaoni odraz osobina koje su zajedničke za objekat, grupu predmeta i pojava. Za pojam je karakterističan skup svojstava koji ga odlikuju. Kako se djeca u razrednoj nastavi nalaze na nivou konkretnih operacija saznanje o pojmu započinje posmatranjem primjera vezanih za taj pojam. Kada govorimo o formiranju pojma prirodnog broja to saznanje neposredno se zasniva na opažanju (čulnom saznanju) predmeta u neposrednom okruženju učenika (učionica) na osnovu čega se stiče predstava (mentalna slika o pojmu). Dalje, misaonom obradom (misaonim operacijama) čulno - iskustvenih saznanja dolazi se do pojma. Cijeli taj proces prati imenovanje pojma. U imenovanje treba uključiti i simboličko zapisivanje. U metodici nastave matematike za formiranje pojma prirodnog broja na ovom uzrastu najčešća opredjeljenja idu za prihvatanje skupovnog prilaza. Osnovu ovakvog prilaza čini, da se u formiranju pojma prirodnog broja polazi od klase ekvivalentnih skupova. Imajući u vidu da je intuitivni (opažajni) stadijum ono što karakteriše ovaj uzrast, značajno mjesto u ovom radu imaće predmeti neposredne učenikove okoline i razni didaktički materijali. Pomoću didaktičkih materijala prilazićemo formiranju skupova konkretnih elemenata, pridruživanje možemo vršiti direktnim manipulisanjem, a određivanje brojnosti (sa mogućim predstavljanjem te brojnosti) vršićemo prvo obojenim štapićima, a potom izgovorenom riječju. Pri formiranju pojma prirodnog broja kod djece uvijek treba polaziti od primjera, tj. skupa prema mentalnoj slici do pojma koji želimo formirati.

Formiranje pojma broja jedan

Da bi smo formirali pojam broja 1 polazimo, od već upoznatog pojma, jednočlanog skupa. Prvo ćemo početi uočavanje jednočlanih skupova iz neposredne učenikove okoline (učionice) . Počećemo konkretnim primjerima:

• Koliko u našoj učionici ima tabli? (jedna)
• Koliko imamo učiteljica? ( jednu)
• Koliko svako od vas ima torbi? (jednu)

Sadaćemo pokazati nekoliko slika sa jednočlanim skupovima. Opisujući slike koristimo riječ « jedan» zajedno sa imenom predmeta (bića) na koji ukazujemo.

• Na prvoj slici vidimo jednu torbu.
• Na drugoj slici vidimo jednu olovku.
• Na tre}oj slici vidimo jedno dijete.

Dalje opisujući slike uz svaku od njih pišemo konvencionalni znak «1» bez imenovanja predmeta. Tim znakom počinjemo označavati apstraktni pojam, a ne primjere koji mu odgovaraju . Zatim od učenika zahtjevamo da se obrazuju skupovi: «Neka Ana obrazuje skup djece sa naočarima! » (najprije se uočava da je samo jedno dijete u grupi ) «Mira neka obrazuje skup djevočica sa kikama, a Bojan skup djevojčica sa mašnom u kosi. » Na kraju slijedi uvježbavanje pravilno pisanje ovog znaka. Pokreti će težiti, kao i kod svih vježbi te vrste, svojoj pojednostavljenoj pravilnosti.

Formiranje pojma broja dva

Kao i kod formiranja pojma broja 1 i ovdje počinjemo direktnom opservacijom preko karakterističnih dvočlanih skupova neposredno dosegnutih dječijem opažaju kao na primjer dvije ruke, dvije noge, dva oka, dva uva i sl. Opisujući slike koristimo riječ « dva» zajedno sa imenom predmeta na koje ukazujemo. Zatim pitamo: « Po koliko svako od vas ima ruku ? » (dvije) « Po koliko imate nogu? » (dvije) «A po koliko imate očiju? » (po dva oka) . Kakvi su to skupovi koji imaju po dva elementa? (dvočlani). « Ima li u našoj učionici još neki skup od po dva elementa? Ima : dvije stolice za klupom, dva djeteta za jednom klupom, dva prozora itd. Zatim svakoj slici pridružujemo konvencionalni znak « 2» . Na kraju uvježbavamo pravilno pisawe ovog znaka. == Formiranje pojma brojeva3,4 i 5 Pojam brojeva 3, 4 i 5 formiraćemo na sličan način kao što smo formirali pojmove brojeva 1 i 2. Kod obrade ovih brojeva svoju funkciju imaju i brojevne slike kao što su ove: u kojima na prvi pogled uočavamo 3 kao 2 + 1, 4 kao 2 + 2 i 3 + 1, a 5 kao 4 + 1 i 3 + 2.

Broj nula

U toku obrade brojeva do 10 izučavamo broj nula i cifru 0. Pojam nule izvodimo na dva načina:

• Karakterističnim svojstvom praznog skupa (skupa koji nema elemenata) .
• Oduzimanjem svakog broja od samog sebe.

Ako su se igrala tri dječaka pa su otišla pisaćemo 3-3. Tada prazno igralište « materijalizuje» prazan skup (kad god su dječaci koji su se igrali jedinice prebrojavanja). Slično, prazan kavez « materijalizuje» takođe prazan skup, u odnosu na ptice koje izdvajamo kao elemente prebrojavanja, prazna učionica u odnosu na đake, kuke u odnosu na kapute itd. Svojstva nule otkrivamo kroz rješavanje zadataka . Na primjer:

• U korpi ima pet jabuka, donijeto je još nula jabuka. Koliko ukupno ima jabuka u korpi? (5+ 0 = 5)

Dodati nekom broju 0 i oduzeti od nekog broja 0, znači ostaviti broj nepromjenjen. » (n + 0 = n, m - 0 =m) Ali i oduzimanje jednakih brojeva rezultat je uvijek 0. Posle obrade prvih pet brojeva i nule vježbanja treba da obuhvate svih šest brojeva u svim ulogama koje mogu imati kao zbirovi i kao razlike. Na primjer, broj 4 je 0+4, 1+3, 2+2, 4+0, 4-0, 5-1, . . .

Formiranje broja 6 i ostalih brojeva do 10

Postupak pri formirawu broja šest je gotovo isti kao i pri obradi pojmova prvih pet brojeva. Uočavati skupove konkretnih elemenata, najprije iz najblže učenikove okoline (učionice), a zatim ćemo manipulisanjem didaktičkim materijalom formirati skupove od šest elemenata. Na primjer ići ćemo ovako: -Neka izađe 5 dječaka! Sada neka im se pridruži jedna djevojčica! Koliko djece sada čini ovaj skup? (Ovaj skupčini 5 dječaka i 1 djevojčica). Pisaćemo 5 + 1. Opisujemo slike i govorimo riječ « šst» zajedno sa imenom predmeta na koje ukazujemo. Uočavamo na slikama disjunktne skupove gdje vidimo u jednom 5, a u drugom 1 elemenat. Zatim zapisujemo da na slikama imamo 5+1 elemenat. Učenici već znaju da zbir 5+1 predstavlja za jedan broj veći od 5 i lako zaključuju da je to broj šest. Uočavamo da su ovi skupovi šestočlani, odnosno da imaju po šest elemenata. Na kraju uvodimo cifru 6 kao znak za broj šest i pristupamo uvježbavanju njegovog pisanja. Pogledajmo sada ove slike: Takođe broj 6 šemo predstaviti u svim kombinacijama zbirova. To ćemo uraditi preko konkretnih primjera: -Na žici ima šest ptica i nije više ni jedna došla. Koliko sada ima ptica? Pišemo 6+0. Obradu ostalih brojeva prve desetice vršićemo na sličan način. Naglasićemo da je broj 10 posledwi broj ovog bloka i piše se sa dvije cifre, a ujedno je to i najmanji dvocifreni broj.

Brojanje

Za usvajanje brojnog niza, a i kao uvod za sabiranje i oduzimanje u bloku brojeva do 10 značajan korak predstavlja brojanje. U metodičkom postupku obrade brojanja brojanje vršimo: pomjeranjem elemenata skupa (žetoni, računaljka), dodirivanjem, pokazivanjem i brojanjem u mislima. Možemo brojati unaprijed, unazad, počev od nekog broja (unaprijed, unazad). Brojati možemo predmete i živa bića koja se kreću, redno brojanje (prvi, drugi ... ) Već u ulasku u predškolsku ustanovu dijete zna izreći nekoliko prvih brojeva iz niza prirodnih brojeva. Da bi se to brojanje osmislilo, djeci pored pojma poretka, pa makar i u intuitivnom pristupu, moraju biti jasni pojmovi: sljedbenik, za jedan više. Da bi se obrazovao pojam sljedbenik i da bi se dijete osposobilo za zamišljeno brojanje i naravno pri tom znalo koje mjesto jedan broj ima u brojevnom nizu dobro je poći od postupka obrazovanja jednočlanog skupa (broj tog skupa je 1), potom se obrazuje ovom skupu ekvivalentan skup pa se uzme još jedan elemenat i obrazuje se po redu drugi skup (brojnost toga skupa je 2). Ovim postupkom nastavlja se obrazovanje skupova, tako da je brojnost svakog slijedećeg skupa za jedan veći od brojnosti prije formiranog skupa. To se vidi na ovoj šemi. p - p = 0 to ćemo pokazati i preko ovih slika. Da bi brojanje bilo što pravilnije shvaćeno i što više približeno, možemo se poslužiti očiglednim predstavama. Tako možemo uzeti jedan žeton i staviti ga na sto, a potom dodamo još jedan žeton i postavimo pitanje: « Koliko je žetona na stolu? » Djeca će brzo uočiti i sa lakoćom odgovoriti na da su na stolu dva žetona. Ako skupu od 2 žetona dodamo još jedan žeton djeca opet s lakoćom uočavaju i odgovaraju da je sada na stolu 3 elementa (žetona). Ovakav postupak možemo nastaviti dok ne dobijemo, recimo, broj 5. Uvod u operaciju oduzimanja predstavlja brojanje unazad pa ga zbog toga treba stalno potencirati i upražnjavati. Prilikom brojanja upoznajemo i redne brojeve. Redno brojanje možemo sprovesti na način da ispred table izlaze učenici, jedan po jedan, analiziramo izlaske prva tri učenika, ko je od njih izašao prvi, ko drugi ko treći… Radi uvježbavanja rednih brojeva pokazujemo sliku na kojoj vidimo dječake koji voze biciklo do cilja. Djeca uočavaju i izgovaraju prvi, drugi, treći, četvrti, peti. Ističemo da se redni brojevi pišu sa tačkom i po tome se razlikuju od zbirnih brojeva. Kada vidimo tačku pored broja mi memo znati da je to redni broj i tako ć}emo ga izgovarati. (1 - jedan, 1. - prvi) Lako uočavamo da se pojmovi brojeva formiraju neprestano, počev od prostog nizanja predmeta iz neposredne okoline učenika.

Relacije

Znaci veće( > )i manje( < )

Da bi smo mogli upoređivati brojeve uvodimo relacije. U toku obrade prvih pet brojeva već se uvode relacije « manji od < » i « veći od > » . Već posle obrade prva tri broja počinjemo sa upoređivanjem istih, odnosno uvode se gore pomenute relacije.

Znak jednakosti( = )

Kod sabiranja polazimo od dva disjunktna skupa čije brojnosti znamo. Cilj je da iz datih podataka o brojnosti odredimo broj elemenata skupa koji je njihova unija. Kod oduzimanja polazimo od skupa koji predstavlja uniju dva svoja disjunktna podskupa, pa je cilj da iz tih podataka odredimo brojnost drugog od njegovih podskupova. Sabiranju i oduzimanju prethodi uvođenje znaka jednakosti. Korišćenjem didaktičkog materijala zaključujemo da « dva žetona više jedan žeton jesu tri žetona» ili kraće « dva više jedan jednako je tri » . Slično zaključujemo: « pet žetona manje tri žetona jesu dva žetona» , ili kraće »pet minus tri jednako je dva» . Zatim pokazujemo na tabli znak jednakosti « = » , crtamo i pišemo: Kako je djeci već poznato da jednočlani skup ima manje elemenata od skupa sa dva elementa, a ovaj ima manje od tročlanog skupa, ilustrovae ovih odnosa može da pomogne boljem pamćenju i razlikovanju oznaka ovih relacija. «Relacije » manji od » i « veći od » najčistije kodifikujemo (a time najviše približavamo pravom značenju)» , kaže Marjanović, » kada elemente odgovarajućih skupova uzimamo da su tačke (kružići) i pri tome su ti elementi pravilno poređani (pravolinijski na istom odstojanju), pa se vrši poređenje dužine ili visine takve brojevne slike » (M. Marjanovi} 1996 : 35) . Kod izračunavanja zbira (razlike) ne radi se ni o kakvom zapamćivanju nego se vrši prebrojavanje elemenata objedinjenog skupa ( razlike skupova) i taj broj jednačimo sa odgovarajućim zbirom (razlikom) . Mi treba da podstičemo jednačenja različitih izraz, recimo, 2+3 i 5, tako što ćemo isticati da smo njima označili isti broj, a u osnovi čega stoji isti skup, čiju smo brojnost označili na ta dva različita načina. Kada pišemo 2+3, mi smo reagovali na raspored elemenata nekog skupa (koji su grupisani u dvije grupe po dva, odnosno tri elementa). Kada pišemo 2+3=5 mi izražavamo nebitnost tog grupisanja, tj. broj uzimamo nezavisno od načina tog grupisanja.

Operacije

Pri obradi brojeva u bloku 10 paralelno uvodimo operacije sabiranje i oduzimanje.

Sabiranje

Pojam sabiranja počećemo obrađivati preko konkretnih primjera. Pokazujemo slike (aplikacije, grafofolije) na kojima se vidi: -na drvetu su dvije ptice i dolijeće još jedna, -igraju se tri dječaka i dolaze još dva, -na polici su dvije knjige i stavljamo još tri. Navedene radnje se svode na objedinjavanje dva skupa u treći, čiju brojnost odrećujemo. « Objedinjavanje je skupovna operacija, a ne aritmetička» , kaže Marjanović, « ali kad god dva disjunktna skupa « materijalizuju» dva broja, njihova unija « materijalizuje» njihov zbir» (M, Marjanović 1996 : 36 ) . Vraćajući se na navedene (slikovite) situacije, govorimo: -Sada su na drvetu dvije više jedna ptica, -Na igralištu su tri više dva dječaka, -Na polici su dvije više tri knjige. Djeci objašnjavamo da riječ « više» može da se kaže i « plus», a zamjenjujemo ga znakom « + » pa će ispod odgovarajućih slika da piše: 2+1, 3+2, 2+3;Navodimo djecu i tražimo od njih da odgovore daju preko izraza (zbir dva broja) a da nam ne odgovaraju zbirom (3, 5, 5 ) . Ovi zapisi ( 2+1; 3+2; 2+3) čitaju se: -zbir brojeva 2 i 1 -zbir brojeva 3 i 2 -zbir brojeva 2 i 3 Brojevi 2 i 1, 3 i 2 i 2 i 3 su sabirci, Brojevi 2, 3 i 2 su prvi sabirci Brojevi 1, 2 I 3 su drugi sabirci Kada prebrojavanjem utvrdimo da su na žici sada tri ptice, na igralištu je sada 5 dječaka i na polici 5 knjiga pišemo jednakosti: 2+1=3, broj 3 je zbir 3+2=5, broj 5 je zbir 2+3=5, broj 5 je zbir Napisane jednakosti čitamo: Zbir brojeva dva i jedan je broj tri ili tri je zbir brojeva dva i jedan; Zbir brojeva tri i dva je broj pet ili pet je zbir brojeva tri i dva; Zbir brojeva dva i tri je broj pet ili pet je zbir brojeva dva i tri;

Svojstva sabiranja

Kroz obradu dodavaNja i oduzimaNja brojeva 2, 3 i 4 upoznajemo znaČewe termina zbir, sabirak, razlika, umaNjenik i umanjilac. Istovremeno upoznajemo se sa osobinom sabiraNja koja se zove zamjena mjesta sabiraka ili komutativnost.

Komutativno svojstvo

Da vrijednost zbira ne zavisi od redoslijeda sabiraka pokazaćemo preko konkretnih primjera: -Na stolu su 3 crvene i 2 zelene jabuke. Koliko ih ima ukupno? Kroz razgovor sa učenicima zaključujemo da crvenim jabukama možemo dodati (pridružiti) zelene jabuke (demonstriramo) i dobijamo ukupno 5 jabuka. Pitamo učenike : « Možemo li to uraditi obrnuto, tj. zelenim jabukama dodati crvene? » To i uradimo demonstriranjem. Uviđamo da opet ima 5 jabuka. To zapisujemo 3+2=5 i 2+3=5 . Zaključujemo da je 3+2=2+3. Zbir se ne mijenja ako sabirci zamjene mjesta Nastojimo da djeca sama zaključe da se komutativno svojstvo (termin ne koristimo u drugom razredu) odnosno zamjena mjesta sabiraka koristi kao olakšica kod iznalaženja zbira.

Asocijativno svojstvo

Asocijativno svojstvo odnosno združivanje sabiraka najlakše upoznajemo ako rješavamo zadatke na tri načina. Obradu pravila počinjemo didaktičkim materijalom: - na stolu su 3 crvena, 2 plava i 4 žuta brodića (žetona). Koliko je ukupno brodi}a? To radimo na tri načina:

• Prvo ćemo grupisati (spojiti) crvene i plave, pa ćemo njima pridružiti žute brodiće.

Crvenih i plavih brodića ukupno ima 3+2, kad njima pridružimo 4 žuta ukupno će biti : (3+2) + 4=5 + 4=9

• Sada ćemo združivati (spajati) plave i žute brodiće, a njih je ukupno 2+4 i njih ćemo dodati (pridružiti) crvenim brodićima.

3 + (2+4)=3 + 6=9 ; Ovaj način grupisanja zapisujemo: 3 + (2+4)=3 + 6=9;

• Imamo još jednu mogućnost da izračunamo ukupan broj brodića.

Sada ćemo prvo grupisati crvene i žute, pa njima dodati plave, a taj način zapisujemo ovako: (3+4) + 2=7 + 2= 9 Kako smo se uvjerili da je broj brodića isti u sva tri slučaja, zaključujemo da važi jednakost: (3+2) + 4=3 + (2+4) (3+2) + 4=(3+4) + 2 I navodimo djecu da retorički iskažu pravilo: Možemo prvo sabirati prvi i drugi sabirak, pa dobijeni broj sabrati sa tre}im sabirkom ili prvo sabrati drugi i tre}i sabirak pa dobijeni broj sabrati sa prvim sabirkom ili ... a sve to radimo radi lak{eg izra~unavawa zbira. Naravno, mi ćemo birati najlakži način. Konačno zaključujemo: Zbir se ne mijenja ma kojim redom vršili sabiranje.

Oduzimanje

Kada posmatramo slikano okruženje oduzimanja ono predstavlja skup koji je viđen kao unija dva svoja disjunktna podskupa. Mi znamo brojnost tog skupa i jednog od njegovih podskupova, pa je cilj da iz tih podataka odredimo brojnost drugog podskupa. Još uvijek apstraktno i nešto dinamičnije, situacije na koje reagujemo oduzimanje možemo opisati kao skupovno oduzimanje od skupa A njegovog dijela B, čije brojnosti znamo. Konačno, na primjer, to su situacije: -Na grani su bile 4 jabuke pa su 2 otpale, -Na drvetu je bilo 5 ptica pa su 2 odletjele, Glagoli i radnje koje se ovdje navode svode se na apstraktno oduzimanje skupova, a ti skupovi « materijalizuju» brojeve i njihove razlike, razlike tih brojeva. Posmatrajući slike nastavljamo: -sad su na grani 4 manje (minus) 2 jabuke, -na drvetu su 5 manje (minus) 2 ptice, Djeci saopštavamo da umjesto « manje » odnosno «minus» pišemo znak « - ». U primjerima to izgleda ovako: -Sad su na grani 4 - 2 jabuke, -Na drvetu su 5 - 2 ptice, Od djece ćemo tražiti da daju svoje primjere, a odgovore ćemo tra žiti u obliku razlike dva broja, tj. sa upotrebom znaka « - » . Ovu opraciju izdvajanja elemenata iz nekog skupa nazivamo oduzimanje, a kao {to znamo znak za nju je « - ». Znači, Dragan sada ima 5 - 2 klikera. Zapis 5 - 2 se zove razlika brojeva 5 i 2. Broj 5 je umanjenik (broj kojim se umanjuje) Broj 2 je umanjulac (broj sa kojim se umanjuje). Ako izvršimo prebrojavanje elemenata u preostalom skupu vidimo da Dragan sada ima tri klikera. Pišemo 5 - 2=3. I broj tri se zove razlika (tu je izvr{ena radnja oduzimanja), a kod zapisa 5 - 2, radwa oduzimanja je samo naznačena. Ovo možemo uraditi i odbrojavanjem jednog po jednog elementa. Zatim vježbamo različite primjere: 6 - 3, 7 - 4, 9 - 5, 10 - 4 itd. Pitanjem: Kolika je razlika brojeva na primjer 5 i 9, provjeravamo da li su učenici shvatili oduzimanje. Zaključujemo da razliku gdje je umanjenik manji od umanjioca ne možemo izvršiti, već kažemo djeci da ćemo to učiti u starijim razredima. Sa ovakvim i sličnim primjerima najlakše dolazimo do zaključka da ako znamo da je 7 - 3 = 4, onda je sigurno (bez provjere) 7 - 4= 3 i 3 + 4= 7 i obrnuto. Na ovaj način nalazimo vezu između sabiranja i oduzimanja koja se izražava time što oduzimanje vidimo kao traženje nepoznatog sabirka.

Veza između sabiranja i oduzimanja

Vezu između dvije operacije najlakše možemo uvesti, a da djeca najlakše i najbolje shvate, preko primjera.

Za toliko veći i za toliko manji broj

Odnose za toliko veći i za toliko manji broj uvodimo i koristimo za utvrđivanje sabiranja i oduzimanja u prvoj desetici, a sa ciljem razvijanja logičkog miljenja i zaključivnja i vježbanja prevođenja realnih životnih situacija na jezik matematičkih simbola odnosno na rješavawe matematičkih zadataka. Polazimo od konkretnih primjera: Prvi primjer: Anja ima 6 bombona, a Vera ima za tri više od nje. Koliko bombona ima Vera? Vera ima onoliko koliko Anja i još 3, odnosno «6 više 3» , tj. na 6 dodamo 3; 6 + 3.

Rješavanje zadataka

Pod pojmom matematički zadaci možemo podrazumjevati zahtjeve ili pitanja odre|đenom subjektu da izvrši neku radnju ili da da odgovor. Zahtjeve mogu upućivati nastavnik učeniku, učenik učeniku ili učenik samom sebi. Zahtjevi se najčešće izražavaju riječima: koliko, kako, izradi, nađi, odredi, ispitaj, pokaži, da li važi, kada je itd. Zadaci se mogu rješavati usmenim i pismenim putem. Prema složenosti zadataka razlikujemo proste i složene zadatke. Krajnji cilj nastave matematike je osposobiti učenike da rješavaju zadatke. Osposobljavanje počinje sa upoznavanjem računskih operacija u bloku brojeva do 10 u drugom razredu i nastavlja se dalje u svim razredima. U matematici izdvajaju, prema rezultatima istraživanja, tri tipa tekstualnih zadataka koji se rješavaju modelovanjem zbira, a to su : zadaci promjene, zadaci kombinovanja i zadaci upoređivanja.

Literatura

• Vilotijević, M. (1999): Didaktika 3 organizacija nastave, Beograd: Zavod za udžbenike i nastavna sredstva i Učiteljski fakultet.
• Grupa autora, (1971): Moderna matematika i predškolsko dijete, I dio, Zagreb: Školska knjiga.
• Grupa autora, (1971): Savremena nastava matmatike, Beograd: Zavod za izdavanje udžbenika SRS.
• Dejić, M. (2000): Metodika nastave matematike, Jagodina: Učiteljski fakultet.
• Dejić, M. (1997): Matematičke sposobnosti i njihovo razvijanje, Zbornik3, 172-180, Vršac: Viša škola za obrazovanje vaspitača.
• Dejić, M.(1995):Matematičke igre, Beograd:Zavod za udžbenike.
• Dejić, M. (1996): Metodička transformacija odabranih sadržaja, Vršac: Viša škola za obrazovanje vaspitača.
• Dragičević L. (1994): Metodika nastave matematike, Bijeljina : Pedagoška akademija.
• Dragičević, L. (1991): Osnovi metodike nastave matematike, Gračanica : DD " Štamparija".
• Dragičević, L. (1995): Matematički vodič, Bijeljina:Učiteljski fakultet.
• Egerić, M. (2000) : Praktikum metodike matematike razredne nastave, Jagodina : Učiteljski fakultet.
• Latković}, M. , Lipovac, D. i Sotirović, V. (1984): Metodika početnih matematičkih pojmova za 4. godinu pedagoške akademije, Beograd : Zavod za udžbenike i nastavna sredstva.
• Lipovac, D. (2006): Matematika za 2. razred osnovne škole, Istočno Sarajevo:Zavod za udžbenike i nastavna sredstva.
• Marjanović, M., Latković, M. i Nikodijević, B. (2000) : Matematika za I razred osnovne škole, Beograd :Zavod za udžbenike i nastavna sredstva.