Bolcano-Vajerštrasova teorema

Bolcano-Vajerštrasova teorema za skupoveUredi

DefinicijaUredi

  • Svaki beskonačan i ograničen skup u   ima bar jednu tačku nagomilavanja u  
  • Svaki beskonačan skup u   ima bar jednu tačku nagomilavanja u  

DokazUredi

  • Neka je skup   beskonačan i ograničen. Pošto je ograničen, znači da   za neki odsečak   Podelimo dati odsečak na dva dela, tačkom   Pošto je skup   beskonačan, u bar jednom od odsečaka   i   će se naći beskonačno mnogo članova skupa  . Označimo taj odsečak sa   Ponavljajući taj postupak, dobijamo odsečke  ,  , ..., tj. beskonačni niz umetnutih odsečaka   od kojih svaki od ovih odsečaka sadrži beskonačno mnogo elemenata skupa  

Iz Kantorovog principa umetnutih odsečaka, beskonačan niz umetnutih odsečaka ima neprazan presek, a taj presek je neka tačka koja će pripadati svim odsečcima.

Označimo sa   tačku koja će pripadati svim odsečcima  

Kako Važi:

  (iz aksiome neprekidnosti prema Arhimedovom svojstvu)

što znači da će za svako proizvoljno odabrano   postojati dovoljno veliko   tako da će se svi odsečci počev od   nalaziti u okolini  tačke   a kako svaki od tih odsečaka ima beskonačno mnogo članova, to se prema definiciji tačke nagomilavanja skupa, zaključuje da je tačka   tačka nagomilavanja skupa  , što je i trebalo pokazati.

  • Ako je skup   ograničen, dokaz o postojanju njegove tačke nagomilavanja je upravo izveden.

Ako je skup   neograničen, to se iz definicije tačaka   i   zaključuje da je onda jedna od njih tačka nagomilavanja skupa   Time je dokaz završen.

Vidi jošUredi

LiteraturaUredi

  • Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.