Bolcano-Vajerštrasova teorema

Bolcano-Vajerštrasova teorema za skupove

Definicija

• Svaki beskonačan i ograničen skup u $\mathbb {R}$ ima bar jednu tačku nagomilavanja u $\mathbb {R} .$

• Svaki beskonačan skup u $\mathbb {R}$ ima bar jednu tačku nagomilavanja u ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}.$

Dokaz

• Neka je skup $A\subset \mathbb {R}$ beskonačan i ograničen. Pošto je ograničen, znači da $A\subset I_{0}$ za neki odsečak $I_{0}=[a,b].$ Podelimo dati odsečak na dva dela, tačkom $T_{1}={\frac {a+b}{2}}.$ Pošto je skup $A$ beskonačan, u bar jednom od odsečaka $[a,{\frac {a+b}{2}}]$ i $[{\frac {a+b}{2}},b]$ će se naći beskonačno mnogo članova skupa $A$. Označimo taj odsečak sa $I_{1}=[a_{1},b_{1}].$ Ponavljajući taj postupak, dobijamo odsečke $I_{2}$, $I_{3}$, ..., tj. beskonačni niz umetnutih odsečaka $(I_{n}),$ od kojih svaki od ovih odsečaka sadrži beskonačno mnogo elemenata skupa $A.$

Iz Kantorovog principa umetnutih odsečaka, beskonačan niz umetnutih odsečaka ima neprazan presek, a taj presek je neka tačka koja će pripadati svim odsečcima.

Označimo sa $x$ tačku koja će pripadati svim odsečcima $(I_{n}).$

Kako Važi:

$(\forall \epsilon >0)(\forall n\in \mathbb {N} )(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(n>n_{0}\Rightarrow {\frac {b-a}{2^{n}}}<\epsilon ),$ (iz aksiome neprekidnosti prema Arhimedovom svojstvu)

što znači da će za svako proizvoljno odabrano $\epsilon >0,$ postojati dovoljno veliko $n_{0},$ tako da će se svi odsečci počev od $I_{n_{0}}$ nalaziti u okolini $x-\epsilon ,x+\epsilon$tačke $x,$ a kako svaki od tih odsečaka ima beskonačno mnogo članova, to se prema definiciji tačke nagomilavanja skupa, zaključuje da je tačka $x$ tačka nagomilavanja skupa $A$, što je i trebalo pokazati.

• Ako je skup $A$ ograničen, dokaz o postojanju njegove tačke nagomilavanja je upravo izveden.

Ako je skup $A$ neograničen, to se iz definicije tačaka $+\infty$ i $-\infty$ zaključuje da je onda jedna od njih tačka nagomilavanja skupa $A.$ Time je dokaz završen.

Vidi još

• Tačka nagomilavanja skupa
• Kantorov princip umetnutih odsečaka

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.