Gavrilova truba

Gavrilova truba (poznata takođe i kao Toričelijeva truba) je figura koju je izmislio Evanđelista Toričeli. Ova figura ima beskonačnu površinu, ali ograničenu zapreminu. Ime se odnosi na tradiciju identifikovanja arhanđela Gavrila sa anđelom koji duva u trubu da najavi Sudnji dan.

Ilustracija Gavrilove trube

Gavrilova truba se dobija tako što se uzme grafik $y={\frac {1}{x}}$, sa domenom $x\geq 1$ (čime se izbegava asimptota u x = 0), i ovaj grafik se zarotira (kako bi se dobilo trodimenziono telo) oko iks-ose. Ovo telo je otkriveno korišćenjem Kavalijerijevog principa, pre otkrića matematičke analize, ali se danas analiza koristi za izračunavanje zapremine i površine trube između x = 1 i x = a, gde a > 1. Pomoću integracije je moguće naći zapreminu $V$, i površinu $A$ tela:

$V=\pi \int _{1}^{a}{1 \over x^{2}}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{1 \over a}\right)$

$P=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\sqrt {1}}{x}}\ \mathrm {d} x=2\pi \ln a$

$a$ može biti proizvoljno veliko, ali se iz jednačine može videti da zapremina trube između $x=1$, i $x=a$ nikad neće preći $\pi$ - međutim, ona će biti sve bliža $\pi$ kako $a$ raste. Matematičari kažu da zapremina teži $\pi$ kada $a$ teži beskonačnosti, što je samo još jedan način da se kaže da je zapremina trube jednaka $\pi$. Izraz zapisan pomoću limesa glasi:

$\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{1 \over a}\right)=\pi$

Što se tiče površine, ona je veća od $2\pi$ puta prirodni logaritam od $a$. Ne postoji gornja granica za prirodni logaritam od $a$, kako ono teži beskonačnosti. To znači, u ovom slučaju, da truba ima beskonačnu površinu. Ponovo, u zapisu pomoću limesa:

$\lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty$

U vreme kada je ovaj objekat otkriven, smatran je paradoksnim, jer se rotiranjem beskonačne površine oko iks-ose dobija konačna zapremina. Neformalno, ovo se može opisati kao da je potrebna beskonačna količina farbe da bi se ofarbala unutrašnjost trube, ali bi uprkos tome bilo moguće napuniti unutrašnju zapreminu konačnom količinom farbe, i na taj način obaviti i unutrašnju površinu.

Rešenje paradoksa je u posledici da je potrebna beskonačna količina farbe da bi se ofarbala beskonačna površina ako je sloj farbe konstantne debljine; ovo u teoriji nije tačno u unutrašnjosti trube, i u praksi je veći deo trube nedostupan za farbu, posebno tamo gde je prečnik trube manji od prečnika molekula farbe. - Ako se uzme da je sloj farbe bez debljine, trebalo bi beskonačno dugo vremena da farba stigne sve do „kraja“ trube.

Drugi način na koji se ovaj „paradoks“ može izložiti je sledeći: može se popuniti truba farbom, ali nema dovoljno farbe da se ofarba njena spoljašnjost.

Vidi još

• Pseudosfera

Dodatna literatura

• Royer, Melvin (2012). „Gabriel's Other Possessions”. Primus. 22 (4): 338—351. S2CID 119721808. doi:10.1080/10511970.2010.517601. 
• Gabriel's Wedding Cake, Julian F. Fleron
• A Paradoxical Paint Pail, Mark Lynch
• Love, William P. (1989). „Supersolids: Solids Having Finite Volume and Infinite Surfaces”. The Mathematics Teacher. 82 (1): 60—65. JSTOR 27966098. doi:10.5951/MT.82.1.0060. 

Spoljašnje veze

• Podaci i dijagrami o Gavrilovoj trubi