Dedekindov presek

Dedekindov presek je jedno od najvećih otkrića u teoriji brojeva, nazvan po nemačkom matematičaru Rihardu Dedekindu. On je otkrio metodu definisanja realnih brojeva pomoću racionalnih brojeva. Dedekindovim presekom na skupu racionalnih brojeva nazivamo par skupova A i V( donja i gornja klasa) takvih da je svaki element donje klase manji od bilo kojeg elementa gornje klase. Na skupu racionalnih brojeva, Dedekindov presek pripada jednom od sledeća tri tipa: 1. Postoji najveći element u klasi, a klasa ne sadrži najmanji element; 2. Klasa ne sadrži najveći element, ali klasa sadrži najmanji element; 3. Ne postoji najveći element u klasi niti postoji najmanji element u klasi . Prva dva tipa definišu racionalan broj, dok treći definiše iracionalan broj.

Dedekindov presek- koren iz 2

Dedekindov presek

Dedekindov presek je podela racionalnih brojeva u dva neprazna skupa A i V ( donja i gornja klasa), takva da su svi elementi skupa A manji od svih elemenata skupa V, i skup A ne sadrži najveći element. Skup V može ali ne mora da ima najmanji element među racionalnim. Ako V ima najmanji element među racionalnim, presek odgovara tom racionalnom. U suprotnom, taj presek definiše jedinstveni iracionalni broj koji, grubo govoreći, ispunjava "jaz" između A i V. Drugim rečima, skup A sadrži svaki racionalan broj manji od preseka, a skup V sadrži svaki racionalni broj veći ili jednak preseku. Iracionalni presek se izjednačava sa iracionalnim brojem koji nije ni u jednom skupu. Svaki realan broj, racionalan ili ne, izjednačava se samo jednim presekom racionalnosti.

Dedekindov presek može biti uopšten od racionalnih brojeva do bilo kog potpuno uređenog skupa, definisanjem Dedekindovog preseka kao podele potpuno uređenog skupa na dva neprazna skupa A i V, tako da je A ograničen odozdo (što znači da za sve a u A, k ≤ a podrazumeva da je i k u A), a V je ograničen odozgo, a A ne sadrži najveći element.

Dedekindov presek na skupu realnih brojeva daje uvek realan broj i ima samo dva tipa: 1. Postoji najveći element u klasi, a klasa ne sadrži najmanji element ; 2. Klasa ne sadrži najveći element, ali klasa sadrži najmanji element ; Jednostavno je pokazati da je Dedekindov presek između realnih brojeva jedinstveno definisan odgovarajućim presekom među racionalnim brojevima. Slično, svaki presek realnih je identičan preseku napravljenom specifičnim realnim brojem (koji može biti najmanji element skupa V). Drugim rečima, broj linija kojima je svaki realan broj definisan kao Dedekindov presek racionalnih je potpun kontinuum bez ikakvih daljih praznina.

Važna svrha Dedekindovog preseka je rad sa skupovima brojeva koji nisu kompletni. Sam presek može predstavljati broj koji nije u originalnom skupu brojeva (najčešće racionalni brojevi). Presek može predstavljati broj b, iako brojevi sadržani u dva skupa A i V zapravo ne sadrže broj b koji njihov presek predstavlja.

Kako odrediti √2?

On bi mogao da se predstavi nekom tačkom na pravoj svih realnih brojeva, a koja leži negde između 1 i 2,tako da boljim aproksimacijama možemo da suzimo interval u kome se taj broj nalazi. Ali teško je suziti interval, a da on pritom ne obuhvati i mnoštvo drugih tačaka. Ovaj problem Dedekind je rešio presecima koji mogu da se primene na ma koju tačku prave realnih brojeva. Treba da razmatramo samo onu vrstu preseka koji odvaja sve racionalne brojeve u dve klase na sledeći način:svaka klasa sadrži najmanje bar jedan broj; svaki broj u gornjoj klasi veći je od svakog broja u donjoj klasi. Zatim, brojevi gornje klase nemaju najmanji broj, a oni iz donje klase nemaju najveći broj.Sada možemo da zamislimo da se ta gornja i donja klasa nalaze predstavljene na pravoj realnih brojeva. Zbog uslova da nema najvećeg i najmanjeg broja u respektivnim klasama, te dve klase takoreći teže da se sastave jedna sa drugom, ali ne mogu zato što je svaki broj gornje klase veći od svakog broja donje klase. Mesto na kome te dve klase teže da se sastave jeste presek i on definiše izvestan iracionalan broj.Da bi se ustanovilo tačno mesto √2 kao preseka, stavljamo u gornju klasu sve one pozitivne racionalne brojeve čiji su kvadrati veći od 2, a u donju klasu sve ostale racionalne brojeve.√2je ulovljen između te dve klase i u toj “zamci” je sam.

Literatura

• Dedekind, Richard. Continuity and Irrational Numbers (PDF). Section IV. „Whenever, then, we have to do with a cut produced by no rational number, we create a new irrational number, which we regard as completely defined by this cut ... . From now on, therefore, to every definite cut there corresponds a definite rational or irrational number ....”