Epicikloida

Epicikloida (od grč. ὲπί -na, nad i grč. κυκλος-krug ) je kriva, koja se dobija kada se jedna kružnica kotrlja po drugoj kružnici sa centrom u ishodištu i tada proizvoljna tačka pokretne kružnice opisuje epicikloidu.

Jednačina epiciklide

Ako fiksirana kružnica ima radijus $R$, a pokretna kružnica radijus $r$ tada se epicikloida može opisivati sledećim jednačinama:

$x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),$

Pošto između radijusa dve kružnice postoji omer $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ onda se jednačine mogu napisati kao:

$x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,$

Ako je $k$ celobrojan onda je epicikloida zatvorena i ima $k$ šiljaka. U slučaju da je $k$ racionalan broj jednak p/q tada epicikloida ima p šiljaka. U slučaju da je $k$ iracionalan broj kriva se nikada ne zatvara, pa se dobija beskonačan broj šiljaka. Epiciklioida sa jednim šiljkom naziva se kardioida.

• Epicycloid Examples
• 
  k = 1
• 
  k = 2
• 
  k = 3
• 
  k = 4
• 
  k = 2.1 = 21/10
• 
  k = 3.8 = 19/5
• 
  k = 5.5 = 11/2
• 
  k = 7.2 = 36/5

Dokaz

Pretpostavimo da želimo da rešimo položaj tačke $p$ i da $\alpha$ i $\theta$ odgovarajući uglovi prikazani na slici. Po pretpostavci nema klizanja između kružnica, pa vredi:

$\ell _{R}=\ell _{r}$ tj.

$\ell _{R}=\theta R,\ell _{r}=\alpha r$, pa se dobija jednačina:

$\theta R=\alpha r$ i odatle

$\alpha ={\frac {R}{r}}\theta$

Sa slike dobija se pozicija:

$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

Literatura

• Epicikloida