Iskazna algebra

Definicija

Neka su $\top$ i $\bot$ dva različita znaka. Uređena šestorka $(\{\top ,\bot \},\wedge ,\vee ,\Rightarrow ,\Leftrightarrow ,\neg )$ naziva se iskazna algebra ako su $\wedge ,\vee ,\Rightarrow ,\Leftrightarrow$ binarne operacije skupa $\{\top ,\bot \}$ date tablicama

$\wedge$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

$\vee$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\bot$

$\Rightarrow$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$

$\Leftrightarrow$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$

a $\neg$ unarna operaciaj data sledećom tablicom

$\neg$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

---

Prioritet operacija odgovara prioritetu logičkih veznika u iskaznim formulama.

Svako preslikavanje $\{\top ,\bot \}^{n}\rightarrow \{\top ,\bot \}$ naziva se n-arna operacija iskazne algebre.

Pored navedenih operacija, u iskaznoj algebri često se koriste i sledeće dve:

• $x\uparrow y=\neg (x\wedge y)$    Šeferova
• $x\downarrow y=\neg (x\vee y)$    Lukasijevičeva

Odnos iskaznih formula i iskazne algebre

Iskazne formule interpretiramo u iskaznoj algebri.

Valuacija $\alpha \,\!$ je preslikavanje $Var\rightarrow \{\top ,\bot \}$ koje iskaznim slovima dodeljuje vrednosti iz skupa $\{\top ,\bot \}$.

Vrednost iskazne formule A u valuaciji ${\alpha }\,\!$, u oznaci $\upsilon _{\alpha }(A)\,\!$ definisana je na sledeći način:

$\upsilon _{\alpha }(p_{i})=\alpha (p_{i})\,\!$

$\upsilon _{\alpha }(A\wedge B)=\upsilon _{\alpha }(A)\wedge \upsilon _{\alpha }(B)$

$\upsilon _{\alpha }(A\vee B)=\upsilon _{\alpha }(A)\vee \upsilon _{\alpha }(B)$

$\upsilon _{\alpha }(A\Rightarrow B)=\upsilon _{\alpha }(A)\Rightarrow \upsilon _{\alpha }(B)$

$\upsilon _{\alpha }(A\Leftrightarrow B)=\upsilon _{\alpha }(A)\Leftrightarrow \upsilon _{\alpha }(B)$

$\upsilon _{\alpha }(\neg A)=\neg \upsilon _{\alpha }(A)$

Znači, iskaznoj formuli $A(p_{1},...,p_{n})\,\!$ dodeljujemo funkciju

${\bar {A}}:\{\top ,\bot \}^{n}\rightarrow \{\top ,\bot \}$

za koju važi $A(x_{1},...,x_{n})=\upsilon _{\alpha }(A(p_{1},...,p_{n}))\,\!$, gde je $\alpha$ valuacija za koju važi $\alpha (p_{i})=x_{i},i\in \{1,2,...,n\}$.