Kasinijev oval

Kasinijev oval je kriva četvrtoga reda, koja se može definisati kao geometrijsko mesto tačaka koje zadovoljavaju uslov da je konstantan proizvod njihove razdaljine od dve fiksne tačke. Kriva je imenovana prema astronomu Đovaniju Domeniku Kasiniju, koji ju je proučavao 1680. Kasini je je pogrešno smatrao da ta kriva tačnije predstavlja kretanje Zemlje.

Formalna definicija

Neka su $q_{1}$ i $q_{2}$ dve fiksne tačke u ravni i neka je a neka konstanta. Kasinijev oval sa fokusima $q_{1}$ i $q_{2}$ se definiše kao proizvod udaljenosti neke tačke p od $q_{1}$ i od $q_{2}$ i pretpostavlja se da je a² tj:

\operatorname {dist} (q_{1},p)\times \operatorname {dist} (q_{2},p)=a^{2}.\,

Kasinijev oval u pravougaonim koordinatama

Neka su fokusi u $F_{1}(-c;0)$ i $F_{2}(c;0)$ . Uzmimo proizvoljnu tačku $M(x;y)$ i nađimo rastojanja od nje i pretpostavimo da je to konstanta $a^{2}$ :

\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}

Kvadriramo li obe strane dobijamo:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}

Sredimo li levu stranu dobijamo:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}

Iskvadriramo li i ponovo složimo članove dobijamo:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

što predstavlja Kasijev oval u pravougaonim koordinatama.

U polarnim koordinatama

Pođemo li od oblika u pravougaonim koordinatama:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

i uvrstivši $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ dobijamo:

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c^{4}

Menja se parametar

a

Menja se parametar

c

Nakon kvadriranja i uz pomoć trigonometrijskih jednačina dobija se:

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}

a onda uz pomoć ( $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ ) dobijamo:

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}

Svojstva

Jednačina Kasinijevoga ovala ima dva nezavisna parametra;

$c$ , koji predstavlja polovinu rastojanja između dva fokusa i
$a$ , čiji kvadrat predstavlja proizvod rastojanja od bilo koje tačke do fokusa.

Međusobni odnos parametara određuje oblik Kasinijevoga ovala, tako da postoji više različitih oblika u zavisnosti od kvocijenta dva parametra:

$\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$ i tada se kriva pretvara u dve tačke.
$\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$ i tada se kriva raspada na dva ovala, koji liče na dva jaja
$\textstyle {\frac {c}{a}}=1$ , tj. $\textstyle a=c$ , a oval se tada pretvara u Bernulijevu lemniskatu
$\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}<{\frac {c}{a}}<1$ , tj. $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$ , pa nastaju 4 pregibne tačke
$\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , tj. $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$ pa kriva postaje oval
$\textstyle {\frac {c}{a}}=0$ , tj. $\textstyle c=0$ i $\textstyle a\neq 0$ pa kriva postaje krug.

Radijus zakrivljenosti u polarnim koordinatama je:

R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2a^{2}\rho ^{3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}

Literatura

Kasinijev oval