Katalanova hipoteza

Katalanova hipoteza (ili Mihaileskova teorema) je pretpostavka u teoriji brojeva koji je pretpostavio matematičar Ežen Karls Katalan 1844. godine i dokazao ju je 2002. godine Preda Mihailesku.

2³ i 3² su dva stepena prirodnih brojeva, čije su vrednosti 8 i 9, uzastopne. Teorema tvrdi da je ovo jedini slučaj dva uzastopna stepena. To znači, da je jedino rešenje u prirodnim brojevima

x^a − y^b = 1

za a, b > 1, x, y > 0 je x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Istorija

Istorija problema datira još do Gersonidesa, koji je dokazao poseban slučaj u nagađanju u 1343. gde je (x, y) bilo ograničeno parovima (2, 3) ili (3, 2).

Godine 1976. Robert Tijdeman primenjuje Bejker metodu u teoriji transcendencije da se uspostavi granica a,b i koriste postojeći rezultate skoka x,y u smislu a,b davanjem efikasne gornje granice za x,y ,a,b. Mišel Lengvin izračunava vrednost eks ekp ekp ekp 730 za granicu.^[1] Ovo rešenje katalonske hipoteze važi za sve, ali postoji konačan broj slučajeva. Međutim, za konačan obračun potrebno je završiti dokaz teoreme ali je potrebno previše vremena da se obavi.

Katalanovu hipotezu je dokazao Preda Mihailesku u aprilu 2002. godine, tako da je sada ponekad nazivaju Mihaileskova teorema. Dokaz je objavljen u Časopis Krepl Žurnal, 2004. godine. To čini veliko korišćenje teorije ciklotomičnom polja i Galualovi modula. Izlaganje dokaza dao je Juri Bilu u Seminaru Burbaki .

Generalizacija

To je pretpostavka da za svaki prirodan broj n su parovi savršenih stepena konačnih razlika n, vidi listu.

(Za manje brojeve (>0), vidi A103953, i vidi link=On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences A076427 za brojevna rešenja (uključujući 0))

n	brojevi k su takvi da su k i k + n savršeni stepeni	n	brojevi k su takvi da su k i k + n savršeni stepeni
1	0, 8	33	16, 256
2	25	34	Ništa
3	1, 125	35	1, 289, 1296
4	0, 4, 32, 121	36	0, 64, 1728
5	4, 27	37	27, 324, 14348907
6	Ništa	38	1331
7	1, 9, 25, 121, 32761	39	25, 361, 961, 10609
8	0, 1, 8, 97336	40	9, 81, 216, 2704
9	0, 16, 27, 216, 64000	41	8, 128, 400
10	2187	42	Ništa
11	16, 25, 3125, 3364	43	441
12	4, 2197	44	81, 100, 125
13	36, 243, 4900	45	4, 36, 484, 9216
14	Ništa	46	243
15	1, 49, 1295029	47	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	0, 9, 16, 128	48	1, 16, 121, 21904
17	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	49	0, 32, 576, 274576
18	9, 225, 343	50	Ništa
19	8, 81, 125, 324, 503284356	51	49, 625
20	16, 196	52	144
21	4, 100	53	676, 24336
22	27, 2187	54	27, 289
23	4, 9, 121, 2025	55	9, 729, 175561
24	1, 8, 25, 1000, 542939080312	56	8, 25, 169, 5776
25	0, 100, 144	57	64, 343, 784
26	1, 42849, 6436343	58	Ništa
27	0, 9, 169, 216	59	841
28	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	60	4, 196, 2515396, 2535525316
29	196	61	64, 900
30	6859	62	Ništa
31	1, 225	63	1, 81, 961, 183250369
32	0, 4, 32, 49, 7744	64	0, 36, 64, 225, 512

Pilajsova hipoteza

Pilajsova hipoteza odnosi na opštu razliku od savršenih stepena (sekvenca A001597 u OEIS):taj otvoren problem je prvobitno predložio S. S. Pilaj, koji je naslutio da praznine u nizu savršenih stepena imaju tendenciju beskonačnosti. Ovo je ekvivalentno rekavši da se svaki ceo pozitivan broj pojavljuje samo konačno mnogo puta kao razlika savršenih ostepena: generalno, godine 1931. Pilaj je pretpostavio da za fiksne cele pozitivne brojeva A, B, C važi jednakost $Ax^{n}-By^{m}=C$ i došao do rešenja (x,y,m,n) sa (m,n) ≠ (2,2). Pilaj je dokazao da je razlika $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ za bilo koji λ manja od 1, ravnomerno m i n.^[2]

Opšta hipoteza se može pratiti i preko ABC hipoteze^[2]^[3]

Pal Erdeš je pretpostavio da je neka pozitivna konstanta c takva ako je d razlika savršenog stepena n, tada d>n^c važi za velike n.

Vidi još

Reference

^ Ribenboim, Paulo (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem.
^ ^a ^b Narkiewicz 2011
^ Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2nd izd.), Springer-Verlag, str. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020

Literatura

Catalan, Eugene. (1844): Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur. J. Reine Angew. Math., 27:192.
Mihailescu, P. (2004). „Primary cyclotomic units and a proof of Catalans conjecture”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (Crelles Journal). 572. doi:10.1515/crll.2004.048.
Ribenboim, Paulo (1994). Catalan's Conjecture. Academic Press. ISBN 978-0-12-587170-9.
Robert Tijdeman (1976). "On the equation of Catalan". Acta Arith. 29 (2): 197—209. Nedostaje ili je prazan parametar |title= (pomoć).
Metsänkylä, Tauno (2003). „Catalan's Conjecture: Another old Diophantine problem solved”. Bulletin of the American Mathematical Society. 41: 43—57. doi:10.1090/S0273-0979-03-00993-5.
Yuri Bilu (2004). "Catalan's conjecture (after Mihăilescu)". Astérisque . 294. Nedostaje ili je prazan parametar |title= (pomoć): vii, 1–26.

Spoljašnje veze

Weisstein, Eric W. „Catalan's conjecture”. MathWorld.
Ivars Peterson's MathTrek Arhivirano na sajtu Wayback Machine (22. januar 2013)
On difference of perfect powers
Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture

[1] Ribenboim, Paulo (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem.

[rnt-2] Narkiewicz 2011

[3] Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, 1467 (2nd izd.), Springer-Verlag, str. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020

[1]

[2]

[3]