Konstruktibilni univerzum

Da bi se mogao u potpunosti razumeti ovaj članak, potrebno je prvo pročitati članak Teorija skupova kontinuuma, te članke koji mu prethode.

U CF teoriji pojam skupa nije definisan već predstavlja osnovni koncept. Ovo za posledicu ima da neka pitanja u CF teoriji ne mogu biti odgovorena.

CF aksiome opisuju svojstva skupova i teorijski univerzum skupova. Na primer, ako je neki beskonačni skup aksioma partitivnog skupa kaže da postoji skup koji čine svi podskupovi skupa . Ostale CF aksiome nam ne kažu mnogo o elementima posdkupovima skupa niti nam kažu išta o veličini ovog skupa. Aksioma sveobuhvatnosti kaže da se sastoji od skupova koji se, na neki dobro definisan način, mogu opisati. Aksioma izbora obezbeđuje različite skupove izbora i dobru uređenost. Reč "svi" u frazi "svi podskupovi skupa" nije ni na koji način objašnjena. Sve dok pojam kako je definisan nije upitan, CF teorija skupova je potpuno smislena. Ali tu je glavni nedostatak CFI teorije skupova: postoji nekoliko pitanja koja se lako mogu postaviti a koja ne mogu biti odgovorena ako se koriste samo CFI aksiome. Klasičan primer jednog takvog pitanja je status hipoteze kontinuuma . Može se tvrditi da o ovoj jednakosti se ne može ništa reći u CFI pošto CFI aksiome ništa ne kažu šta čini posdkup skupa . Time se ne može povezati veličina skupa sa beskonačnim kardinalnim brojem .

Da bi se prevazišla ova teškoća, došlo se do ideje da se CFI proširi tako što bi se dalo više informacije o skupu. Jedna od uspešnih realizacija ove ideje je Gedelovova teorija konstruktibilnog univerzuma.

Gedelovova teorija konstruktibilnog univerzuma

uredi

Gedelov kostruktibilni univerzum   se definiše transfinitnom rekurzijom:

 
 
 , u slučaju kada je α granični ordinal.

Posebno,

 .

pri čemu je:

  a   Gedelova operacija zatvorenja za proizvoljan skup  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Funkcija :  je ekvivalentna konjunkciji sledeće dve formule:

(a)  
(b)  

U gornjem kontekstu je  .

Gedel je pokazao da   zadovoljava sve CFI aksiome a time i CF. Na taj način   zadovoljava uopštenu hipotezu kontinuuma (UHK) tj.  , za svaki ordinal   .

Tvrdnja  , gde je   univerzum svih skupova, se zove aksioma konstruktibilnosti (AK) koja tvrdi da svaki skup pripada  , koja je time saglasna sa CFI i iz koje (AK) se daju izvesti AI i UHK.

Prava klasa  , zajedno sa   relacijom ograničenom samo na  , je unutrašnji model CFI tj. neka tranzitivna (tj. koja sadrži sve elemente sopstvenih elemenata) klasa koja sadrži sve ordinale i zadovoljava sve CFI aksiome. Prava klasa je, na taj način, najmanji unutrašnji CFI model, pošto svaki drugi unutrašnji model sadrži pravu klasu.

Za bilo koji skup   može se konstruisati najmanji CF tranzitivni model koji sadrži   i sve ordinale na sličan način kao i  , ali gde se počinje sa tranzitivnim zatvaranjem  , tj. najmanji tranzitivni skup koji sadrži   umesto  . Rezultujući model   nije nužno AI model. Jedan vrlo značajan AI model je  , najmanji CF tranzitivni model koji sadrži sve ordinale i sve realne brojeve.

Literatura

uredi
  • Keith J. Devlin, Constructibility (Berlin: Springer-Verlag, 1984), 56-107
  • Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović, Boban Veličković: Teorija skupova, Matematički fakultet, Beograd 2007