Kontekst-slobodni jezik

U formalnoj teoriji jezika, kontekstno slobodni jezik je jezik koji generiše neka kontekstno-slobodna gramatika. Skup svih kontekstno slobodnih jezika je identičan skupu jezika koje prihvataju potisni automati.

Primeri

Klasičan primer kontekstno slobodnog jezika je $L=\{a^{n}b^{n}:n\geq 1\}$, jezik svih nepraznih niski parne dužine, čije ja prva polovina sastavljena od slova $a$, a druga polovina je sastavljena od slova $b$. $L$ je generisan gramatikom $S\to aSb~|~ab$, a prihvata ga potisni automat $M=(\{q_{0},q_{1},q_{f}\},\{a,b\},\{a,z\},\delta ,q_{0},\{q_{f}\})$ gde je $\delta$ definisano na sledeći način:

$\delta (q_{0},a,z)=(q_{0},a)$
$\delta (q_{0},a,a)=(q_{0},a)$
$\delta (q_{0},b,a)=(q_{1},x)$
$\delta (q_{1},b,a)=(q_{1},x)$
$\delta (q_{1},\lambda ,z)=(q_{f},z)$

$\delta (\mathrm {state} _{1},\mathrm {read} ,\mathrm {pop} )=(\mathrm {state} _{2},\mathrm {push} )$
where $z$ je početni simbol steka a $x$ predstavlja akciju skidanja sa steka.

Kontekstno slobodni jezici imaju mnoge primene u programskim jezicima; na primer, jezik svih ispravno uparenih zagrada je generisan gramatikom $S\to SS~|~(S)~|~\lambda$. Takođe, većina aritmetičkih izraza su generisani kontekstno slobodnim gramatikama.

Svojstva zatvorenja

Kontekstno slobodni jezici su zatvoreni u odnosu na sledeće operacije. To jest, ako su L i P kontekstno slobodni jezici, a D je regularan jezik, onda su i sledeći jezici kontekstno-slobodni:

• Klinijeva zvezda $L^{*}$ od L
• slika φ(L) od L za homomorfizam φ
• konkatenacija (dopisivanje) $L\circ P$ jezika L i P
• unija $L\cup P$ jezika L i P
• presek (sa regularniim jezikom) $L\cap D$ jezika L i D

Kontekstno slobodni jezici nisu zatvoreni za komplement, presek i razliku.

Nezatvorenost u odnosu na presek

Kontekstno slobodni jezici nisu zatvoreni za presek. Ovo se može videti ako se uzmu jezici $A=\{a^{m}b^{n}c^{n}\mid m,n\geq 0\}$ i $B=\{a^{n}b^{n}c^{m}\mid m,n\geq 0\}$, koji su oba konetksno slobodna. Njihov presek je $A\cap B=\{a^{n}b^{n}c^{n}\mid n\geq 0\}$, za šta se može pokazati da nije kontekstno slobodan jezik pamping lemom za kontekstno slobodne jezike.

Svojstva odlučivosti

Sledeći problemi su neodlučivi za proizvoljne kontekstno slobodne gramatike A i B:

• Ekvivalencija: da li je $L(A)=L(B)$?
• da li je $L(A)\cap L(B)=\emptyset$ ?
• da li je $L(A)=\Sigma ^{*}$ ?
• da li je $L(A)\subseteq L(B)$ ?

Sledeći problemi su odlučivi za proizvoljne kontekstno slobodne gramatike:

• da li je $L(A)=\emptyset$?
• da li je $L(A)$ konačan?
• Pripadnost: za svaku datu reč $w$, da li je $w\in L(A)$ ? (problem pripadnosti je čak odlučiv u polinomijalnom vremenu - videti алгоритам CYK)

Svojstva kontekst-slobodnih jezika

• Jezik obratan kontekstno slobodnom jeziku je kontekstno slobodan, ali njegov komplement ne mora da bude.
• Svaki regularan jezik je kontekstno slobodan jer može da se opiše regularnom gramatikom.
• Presek kontekstno slobodnog jezika i regularnog jezika je uvek kontekstno slobodan.
• Postoje kontekstno senzitivni jezici koji nisu kontekstkno slobodni.
• U dokazivanju da neki jezik nije kontekstno slobodan može da se koristi pamping lema za kontekstno slobodne jezike.

Literatura

• Seymour Ginsburg (1966). The Mathematical Theory of Context-Free Languages. New York, NY, USA: McGraw-Hill, Inc. 
• Michael Sipser (1997). „Context-Free Languages”. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. str. pp—91—122. ISBN 978-0-534-94728-6.