Kontrapozicija
Kontrapozicija je pravilo matematičke logike koje kazuje da bez posledice ne može biti ni uzroka. Drugačije rečeno, pravilo glasi:
- Ako P onda Q.
- Dakle, ako nije Q onda nije P.
Ovo pravilo se sekventno zapisuje kao , odnosno kao
- .
Pravilo kontrapozicije ekvivalentno je pravilu modus tolens.
Objašnjenje istinitosnom tablicom uredi
Ispod je data istinitosna tablica implikacije.
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Kako je implikacija netačna jedino u sličaju kada iz tačnog sledi netačno, to je jedini mogući izbor istinitosne varijable koja može slediti iz nečega što je netačno upravo netačno, inače se stvara kontradikcija. Drugim rečima, kako bi se u sistemu očuvala istina, jedino što je moguće da sledi iz neistinitog je neistinito, ali pod prethodnom pretpostavkom neke implikacije.
Dokaz ekvivalencije sa pravilom modus tolens uredi
Dokažimo prvo da iz modus tolensa sledi kontrapozicija. Neka važi P ⇒ Q, ¬Q ⊢ ¬P, tj. modus tolens. Pretpostavimo sada P ⇒ Q. Ono što treba dokazati je ¬Q ⇒ ¬P. Pretpostavimo ¬Q; no odavde, direktno iz pravila modus tolens, izlazi i ¬P, čime je dokazano da važi ¬Q ⇒ ¬P, tj. kontrapozicija. Obratno, ukoliko važi P ⇒ Q ⊢ ¬Q ⇒ ¬P (kontrapozicija), dokažimo da važi modus tolens. Pretpostavimo zato P ⇒ Q i ¬Q. Iz P ⇒ Q, prema premisi kontrapozicije, odmah sledi i ¬Q ⇒ ¬P, odakle, iz pretpostavke ¬Q, sledi i ¬P (tj. dokazan je modus tolens), čime je dokazan i ovaj smer ekvivalencije.
Primeri uredi
- Ukoliko konobar dođe naručiću večeru.
- Dakle, ako ne naručim večeru konobar nije došao.
- Ako Ana živi u Pirotu, sigurno živi i u Srbiji.
- Dakle, ako Ana ne živi u Srbiji sigurno ne živi ni u Pirotu.
- Ukoliko izbije požar vatrogasci će doći.
- Dakle, ukoliko vatrogasci ne dođu, nije bilo požara.