Istorija logaritma

Istorija logaritama je priča o korespondenciji (u modernim terminima, grupnom izomorfizmu) između množenja na pozitivnim realnim brojevima i zbrajanja na pravoj brojnoj liniji koja je formalizovana u Evropi u sedamnaestom veku i naširoko je korišćena za pojednostavljenje računanja do pojave digitalnog računara. Napierski logaritmi su prvi objavljeni 1614. Henri Briggs je uveo uobičajene (bazne 10) logaritme, koji su bili lakši za upotrebu. Tabele logaritama su objavljivane u više oblika tokom četiri veka. Ideja logaritama je takođe korišćena za konstruisanje pravila slajda, koji je postao sveprisutan u nauci i inženjerstvu sve do 1970-ih. Proboj koji je generisao prirodni logaritam rezultat je potrage za izrazom površine protiv pravougaone hiperbole i zahtevao je asimilaciju nove funkcije u standardnu matematiku.

Sadržaj

1 Zajednički logaritam
2 Prirodni logaritam
3 Pioniri logaritama
3.1 Prethodnici
3.2 Burgi
3.3 Napier
3.4 Euler
4 Tablica logaritama
4.1 Rane tablice
5.Logaritmar
5.1 Moderna forma
6. Reference

6.1 Izvorni izvori
6.2 Sekundarni izvori
7 Spoljašnje veze

Uobičajeni logaritam

Pošto je zajednički log od deset jednak, od stotinu je dva, a hiljada je tri, koncept zajedničkih logaritama je veoma blizu decimalno-pozicionom sistemu brojeva. Kaže se da zajednički dnevnik ima bazu 10, ali baza 10.000 je drevna i još uvek uobičajena u istočnoj Aziji. U svojoj knjizi The Sand Reckoner, Arhimed je koristio množenje kao osnovu sistema brojeva osmišljenih da prebroje zrnca peska u univerzumu. Kao što je navedeno 2000. godine u antici Arhimed je dao recept za reduciranje množenja na zbrajanje koristeći geometrijsku progresiju brojeva i povezujući ih sa aritmetičkom progresijom.

Godine 1616. Henri Brigs je posetio Napier u Edinburgu kako bi razgovarao o predloženoj promeni Napier-ovih logaritama. Sledeće godine ponovo je posetio iz slične svrhe. Tokom ovih konferencija dogovorena je izmena koju je Brigs predložio, a po povratku iz druge posete Edinburgu 1617. godine objavio je prvi hiliad svojih logaritama.

Godine 1624. Brigs je objavio svoj Arithmetica Logarithmica, u foliou, rad koji sadrži logaritme od trideset hiljada prirodnih brojeva do četrnaest decimalnih mesta (1-20,000 i 90,001 do 100,000). Ovu tabelu su kasnije proširili Adrian Vlack, ali na 10 mesta, a Alekander John Thompson na 20 mesta 1952. godine.

Brigs je bio jedan od prvih koji je koristio metode konačnih razlika za izračunavanje tabela funkcija. [2] [3] Završio je i tabelu logaritamskih sinusa i tangenata za stoti deo svakog stepena do četrnaest decimalnih mesta, sa tabelom prirodnih sinusa do petnaest mesta, a tangente i sekance za isto na deset mesta, od kojih su svi odštampani u Gaudi 1631. i objavljen 1633. pod nazivom Trigonometrija Britannica; ovaj rad je verovatno bio naslednik njegovog 1617 Logarithmorum Chilias Prima ("Prvih hiljadu logaritama"), koji je dao kratak prikaz logaritama i dugačke tabele od prvih 1000 celih brojeva izračunatih do 14. decimalnog mesta.

Prirodni logaritam

Godine 1649. Alphonse Antonio de Sarasa, bivši učenik Grguro de Saint-Vincenta, [4] se odnosio na logaritme na kvadraturu hiperbola, ukazujući da je područje A (t) pod hiperbolom od k = 1 do k = zadovoljava Prirodni logaritam je prvi opisao Nicholas Mercator u svom radu Logarithmotechnia objavljenom 1668. godine, [6] iako je profesor matematike John Speidell već 1619. sastavio tabelu o tome šta su zapravo prirodni logaritmi, zasnovani na Napierovom radu.

Istoričar Tom Vhiteside opisao je prelazak na analitičku funkciju na sledeći način: [8]

Do kraja 17. veka možemo reći da je mnogo više od toga što je proračunski uređaj prikladno dobro tabulisan, logaritamska funkcija, u velikoj meri na modelu hiperbola-područja, prihvaćena u matematiku. Kada je u 18. veku ova geometrijska osnova odbačena u korist potpuno analitičkog, nije bilo potrebe za proširenjem ili preformulacijom - koncept "područja hiperbola" je bezbolno pretvoren u "prirodni logaritam".

Pioniri logaritama

Vavilonci negde u periodu od 2000. do 1600. pne. Možda su izmislili algoritam umnožavanja četvrt kvadratnog kvadrata da množe dva broja koristeći samo zbrajanje, oduzimanje i tabelu četvrtastih kvadrata. Tako, takva tabela služi sličnoj nameni kao i tabelama logaritama, koji takođe dozvoljavaju da se izračuna množenje pomoću dodataka i tabelarnih pregleda. Međutim, metod kvartalnog kvadrata nije mogao da se koristi za podelu bez dodatne tabele recipročnih (ili poznavanje dovoljno jednostavnog algoritma za generisanje reciprocala). Za pojednostavljenje preciznog množenja velikih brojeva od 1817. godine pa nadalje, korišćeni su veliki stolovi kvadratnih kvadrata sve dok to nije zamenjeno upotrebom kompjutera.

Indijski matematičar Virasena je radio na konceptu ardhacheda: broj puta kada bi broj oblika 2n mogao biti prepolovljen. Za tačne sile od 2, ovo je jednako binarnom logaritmu, ali se razlikuje od logaritma za druge brojeve. Opisao je formulu proizvoda za ovaj koncept i takođe uveo analogne koncepte za bazu 3 i bazu 4.

Michael Stifel je objavio Arithmetica integra u Nirnbergu 1544. godine, koji sadrži tabelu celih brojeva i moći 2 koja se smatrala ranom verzijom tabele binarnih logaritama.

U 16. i početkom 17. veka algoritam se zove prostaphaereza za približavanje množenja i podele. Ovo je koristilo trigonometrijski identitet

$\cos \alpha \cos \beta =1/2(cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta ))$

ili slično za konvertovanje množenja u dodatke i preglede tabela. Međutim, logaritmi su jednostavniji i zahtevaju manje rada. Može se pokazati koristeći Eulerovu formulu da su ove dve tehnike povezane.

Burgi

Švajcarski matematičar Jost Burgi konstruisao je tabelu progresija koja se može smatrati tabelom antilogaritama nezavisno od Johna Napiera, čije je objavljivanje (1614) poznato do vremena kada je Burgi objavljen po nalogu Johannesa Keplera. Znamo da je Burgi imao neki način da pojednostavi izračune oko 1588. godine, ali je najverovatnije na ovaj način korišćen prostaphaereza, a ne upotreba njegove tabele progresija koja se verovatno vraća na oko 1600. godine. Zaista Vittich, koji je bio u Kaselu iz 1584. godine do 1586, donela sa sobom znanje o prosthaphereis, metodu kojim se množenja i podele mogu zamijeniti dodacima i oduzimanjem trigonometrijskih vrijednosti ... Ova procedura postiže isto što i logaritmi nekoliko godina kasnije.

Napier

Metod logaritama je javno objavio John Napier 1614. godine, u knjizi pod nazivom Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (opis čudesnog pravila logaritama). Johannes Kepler, koji je intenzivno koristio logaritamske stolove kako bi sastavio svoju Ephemeris i zato ga posvetio Napieru, primetio je:

... naglasak u kalkulaciji doveo je Justusa Birgiusa [Joost Burgi] na put do ovih logaritama mnogo godina pre nego što se pojavio Napierov sistem; ali ... umesto da odgaja svoje dete za opšte dobro, napustio ga je prilikom rođenja.

- Johannes Kepler [19], Rudolphine Tables (1627)

Ponovljenim oduzimanjem Napier je izračunao (1 - 10-7) L za L u rasponu od 1 do 100. Rezultat za L = 100 je približno 0,99999 = 1 - 10−5. Napier je zatim izračunao proizvode ovih brojeva sa 107 (1 - 10-5) L za L od 1 do 50, i učinio slično sa 0.9998 ≈ (1 - 10−5) 20 i 0.9 ≈ 0.99520. Ove računice, koje su zauzimale 20 godina, omogućile su mu da za bilo koji broj N od 5 do 10 miliona, da broj L koji rešava jednačinu. Napier je L prvo nazvao "veštačkim brojem", ali je kasnije uveo reč "logaritam" da bi označio broj koji označava odnos: λογος (logos) što znači proporciju, i αριθμος (arithmos) što znači broj. U modernoj notaciji, odnos prema prirodnim logaritmima je gde vrlo bliska aproksimacija odgovara opažanju.

Izum je brzo i široko prihvaćen. Radovi Bonaventure Cavalieri (Italija), Edmunda Vingatea (Francuska), Ksue Fengzuo (Kina) i Chilias logarithmorum (Njemačka) Johannesa Keplera doprinijeli su širenju koncepta.

Euler

Oko 1730. godine Leonhard Euler je definisao eksponencijalnu funkciju i prirodni logaritam

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }(1+x/n)^{n}$

$\ln(x)=\lim _{n\to \infty }n(x^{1/n}-1)$

U svom udžbeniku iz 1748. Uvod u analizu beskonačnog, Euler je objavio sada standardan pristup logaritmima preko inverzne funkcije: U poglavlju 6, "O eksponencijalnim i logaritamskim", on počinje sa konstantnom bazom a i razmatra transcendentalnu funkciju $y=a^{z}$ njegov inverzni je logaritam:

z = log_a y.

Tabele logaritama

Matematičke tabele koje sadrže zajedničke logaritme (baza-10) su u velikoj meri korišćene u računanju pre pojave kompjutera i kalkulatora, ne samo zato što logaritmi pretvaraju probleme umnožavanja i podele u mnogo lakše probleme dodavanja i oduzimanja, već za dodatnu osobinu koja je jedinstvena u bazu-10 i dokazano je korisno: Bilo koji pozitivan broj može se izraziti kao proizvod broja iz intervala [1,10] i celog broja snage od 10. Ovo se može zamisliti kao prebacivanje decimalnog separatora datog broja na levo daje pozitivno, a desno negativni eksponent od 10. Samo logaritmi ovih normalizovanih brojeva (aproksimirani određenim brojem cifara), koji se nazivaju mantisama, moraju biti tabelirani u listama na sličnu preciznost ( sličan broj cifara). Ove mantise su sve pozitivne i zatvorene u intervalu [0,1]. Uobičajeni logaritam datog pozitivnog broja dobija se dodavanjem mantise u zajednički logaritam drugog faktora. Ovaj logaritam se naziva karakteristikom datog broja. Pošto je zajednički logaritam snage od 10 tačno eksponent, karakteristika je celobrojni broj, što čini zajednički logaritam izuzetno korisnim u obradi decimalnih brojeva. Za brojeve manje od 1, karakteristika čini rezultujući logaritam negativnim, po potrebi. Pogledajte zajednički logaritam za detalje o upotrebi karakteristika i mantisa.

Pane tabele

Michael Stifel je objavio Arithmetica integra u Nirnbergu 1544. koji sadrži tabelu [27] celih brojeva i moći 2 koja se smatrala ranom verzijom logaritamske tabele.

Metod logaritama je javno objavio John Napier 1614. godine, u knjizi pod nazivom Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis čudesnog pravila logaritama). Knjiga sadrži pedeset sedam stranica objašnjenja i devedeset stranica tabela koje se odnose na prirodne logaritme. Engleski matematičar Henri Briggs posjetio je Napier 1615. godine i predložio ponovno skaliranje Napierovih logaritama kako bi se formiralo ono što je sada poznato kao zajednički logaritam. Napier je delegirao Briggs-u računanje revidirane tabele, a kasnije su objavili 1617. Logarithmorum Chilias Prima ("Prva tisuća logaritama"), koji je dao kratak prikaz logaritama i tabele za prvih 1000 prirodnih brojeva izračunatih do 14. decimalnog mesta.

Godine 1624. pojavio se Arithmetica Logarithmica, folio, rad koji sadrži logaritme od trideset hiljada prirodnih brojeva do četrnaest decimalnih mesta (1-20,000 i 90,001 do 100,000). Ovu tabelu su kasnije proširili Adriaan Vlack, ali na 10 mesta, a Alekander John Thompson na 20 mesta 1952. godine.

Brigs je bio jedan od prvih koji je koristio metode konačnih razlika za izračunavanje tabela funkcija.

Kasnije je utvrđeno da Vlackova tabela sadrži 603 greške, ali "to se ne može smatrati velikim brojem, kada se smatra da je tabela rezultat originalnog izračuna, i da je više od 2,100,000 štampanih brojeva podložno greškama." Izdanje Vlackovog rada, sa mnogim ispravkama, izdato je 1794. godine u Lajpcigu pod nazivom Thesaurus Logarithmorum Completus autora Jurija Vege.

Sedamoklasna tabela Fransoa Kalleta (Pariz, 1795), umesto 100,000, dala je logaritme od osam mesta brojeva između 100.000 i 108.000, kako bi se umanjile greške interpolacije, koje su bile najveće u ranom delu tabela, i ovaj dodatak je obično uključen u tabele sa sedam mesta. Jedini važan objavljeni nastavak Vlack-ove tabele bio je gospodin Sang 1871. godine, čija je tabela sadržavala logaritme svih sedam brojeva ispod 200.000.

Briggs i Vlack su takođe objavili originalne tabele logaritama trigonometrijskih funkcija. Briggs je dovršio tabelu logaritamskih sinusa i logaritamskih tangenata za stoti deo svakog stepena do četrnaest decimalnih mesta, sa tabelom prirodnih sinusa do petnaest mesta, a tangente i sekance za isto na deset mesta, od kojih su sve štampane u Gouda 1631. i objavljen 1633. pod nazivom Trigonometria Britannica. Logaritmi tabela trigonometrijskih funkcija pojednostavljuju ručne proračune gde se funkcija ugla mora množiti sa drugim brojem, kao što je često slučaj.

Pored gore pomenutih tabela, pod vodstvom Gaspard de Pronia, prvobitnim proračunom, pod okriljem francuske republikanske vlade iz 1790-ih godina, napravljena je velika zbirka, pod nazivom Tables du Cadastre. Ovaj rad, koji je sadržavao logaritme svih brojeva do 100.000 do devetnaest mesta, i brojeva između 100.000 i 200.000 do dvadeset četiri mesta, postoji samo u rukopisu, "u sedamnaest ogromnih folija," u opservatoriji u Parizu. Počeo je 1792. godine, a "sve kalkulacije, koje su osigurale veću preciznost izvršene su u duplikatu, i dva rukopisa koji su naknadno obrađeni pažljivo, završeni su u kratkom periodu od dvije godine." Kubična interpolacija se može koristiti za pronalaženje logaritma bilo kog broja sa sličnom tačnošću.

Za različite potrebe, sastavljene su logaritamske tabele od malih priručnika do višestrukih izdanja

Godina	Autor	Opseg	Decimalna mesta	Beleška
1617	Henry Briggs, Logarithmorum Chilias Prima	1–1000	14	vidi sliku
1624	Henry Briggs Arithmetica Logarithmica	1–20,000, 90,000–100,000	14
1628	Adriaan Vlacq	20,000–90,000	10	sadrži samo 603 greške
1792–94	Gaspard de Prony Tables du Cadastre	1–100,000 and 100,000–200,000	19 and 24,	nikad objavljena
1794	Jurij Vega Thesaurus Logarithmorum Completus(Leipzig)			poboljšana verzija Vlacq -ovog
1795	François Callet (Paris)	100,000–108,000	7
1871	Sang	1–200,000	7

Logaritmar

Pravilo slajda je izumljeno oko 1620–1630, ubrzo nakon što je John Napier objavio koncept logaritma. Edmund Gunter iz Oksforda razvio je proračunski uređaj sa jednom logaritamskom skalom; sa dodatnim mernim alatima može se koristiti za množenje i deljenje. Prvi opis ove skale objavljen je u Parizu 1624. godine od strane Edmunda Vingatea (c. Str. 593–1656), engleskog matematičara, u knjizi pod naslovom L'usage de la reigle de delež en l'arithmetikue & geometrie. Knjiga sadrži dvostruku skalu, logaritamsku na jednoj strani, tabularnu na drugoj. Godine 1630. Villiam Oughtred iz Kembridža izumio je pravilo kružnog slajda, a 1632. kombinovao je dva ručna Gunter pravila kako bi napravio uređaj koji je prepoznatljivo moderno pravilo. Kao i njegov suvremenik u Kembridžu, Isak Njutn, Oughtred je učio svoje ideje privatno svojim učenicima. Takodje, kao i Njutn, on se upustio u oštar spor oko prioriteta, sa svojim nekadašnjim studentom Ričardom Delamainom i prethodnim tvrdnjama Vingatea. Oughtredove ideje su objavljene samo u publikacijama njegovog studenta Villiama Forstera 1632. i 1653. godine.

Godine 1677. Henri Coggeshall je stvorio pravilo preklapanja od dva metra za mjerenje drva, nazvano Coggeshall slajdovim pravilom, proširujući korištenje pravila klizanja izvan matematičkog istraživanja.

Godine 1722. Varner je uveo dve i tri decenije, a 1755. godine Everard je uključio obrnutu skalu; pravilo slajda koje sadrži sve ove skale je obično poznato kao "višefazno" pravilo.

1815. godine, Peter Mark Roget je izumeo pravilo slajdova log dnevnika, koje je uključivalo skalu koja prikazuje logaritam logaritma. Ovo je omogućilo korisniku da direktno izvrši izračune koje uključuju korene i eksponente. Ovo je posebno bilo korisno za delimične ovlasti.

Godine 1821. Nathaniel Bovditch je opisao u američkom praktičnom navigatoru "klizno pravilo" koje je sadržavalo trigonometrijske funkcije skala na fiksnom dijelu i liniju log-sinova i log-tana na klizaču koji se koristio za rješavanje problema navigacije.

Godine 1845. Paul Cameron iz Glasgova uveo je nautičko pravilo sposobno da odgovori na navigacijska pitanja, uključujući pravo uzdizanje i odbijanje sunca i glavnih zvezda.

Moderna forma

Moderniji oblik slajdske vladavine je 1859. godine stvorio francuski artiljerijski poručnik Amedee Mannheim, "koji je imao sreću da je njegova vlada napravila firma nacionalnog ugleda i da ju je usvojila francuska artiljerija". Bilo je otprilike u to vreme da je inženjering postao priznata profesija, što je rezultiralo širokom upotrebom slajdova u Evropi - ali ne iu Sjedinjenim Državama. Tamo je Edvin Thacher je cilindrično pravilo održan nakon 1881. Dupleks pravilo je izumio Villiam Cok u 1891, a producirao Keuffel i Esser Co. iz Nev Iorka.

Reference

Umetni pasus
1. Ian Bruce (2000) "Napier’s Logarithms", American Journal of Physics 68(2):148
2. ^ Jump up to:^a ^b
3. ^ Jump up to:^a ^b
4. ^ In 1647, Gregoire de Saint-Vincent published his book, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni(Geometric work of squaring the circle and conic sections), vol. 2 (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1647). On page 586, Proposition CIX, he proves that if the abscissas of points are in geometric proportion, then the areas between a hyperbola and the abscissas are in arithmetic proportion. This finding allowed Saint-Vincent's former student, Alphonse Antonio de Sarasa, to prove that the area between a hyperbola and the abscissa of a point is proportional to the abscissa's logarithm, thus uniting the algebra of logarithms with the geometry of hyperbolas. See: Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi ... [Solution to a problem proposed by the reverend father Marin Mersenne, member of the Minim order ... ], (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1649). Sarasa's critical finding occurs on page 16 (near the bottom of the page), where he states:"Unde hae superficies supplere possunt locum logarithmorum datorum ... " (Whence these areas can fill the place of the given logarithms ... ). [In other words, the areas are proportional to the logarithms.] See also: Enrique A. González-Velasco, Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History (New York, New York: Springer, 2011), page 118.
5. ^ Alphonse Antonio de Sarasa, Solutio problematis a R.P. Marino Mersenne Minimo propositi ... [Solution to a problem proposed by the reverend father Marin Mersenne, member of the Minim order ... ], (Antwerp, (Belgium): Johannes and Jakob Meursius, 1649). Sarasa realized that given a hyperbola and a pair of points along the abscissa which were related by a geometric progression, then if the abscissas of the points were multiplied together, the abscissa of their product had an area under the hyperbola which equaled the sum of the points' areas under the hyperbola. That is, the logarithm of an abscissa was proportional to the area, under a hyperbola, corresponding to that abscissa. This finding united the algebra of logarithms with the geometry of hyperbolic curves.
6. ^ Derek Thomas Whiteside (1961) "Patterns of mathematical thought in the later seventeenth century", Archive for History of Exact Sciences 1(3):179–388, § III.1 The logarithm as a type-function pp 214–231, quote p 231
7. ^ Jost Bürgi, Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen … [Arithmetic and Geometric Progression Tables … ], (Prague, (Czech Republic): University [of Prague] Press, 1620). Available on-line at: Bavarian State Library, Germany Unfortunately, Bürgi did not include, with his table, instructions for using the table. Neither the table nor the instructions were published, apparently only proof sheets of the table were printed. The contents of the instructions were reproduced in: Hermann Robert Gieswald, Justus Byrg als Mathematiker, und dessen Einleitung zu seinen Logarithmen [Justus Byrg as a mathematician, and an introduction to his logarithms] (Danzig, Prussia: St. Johannisschule, 1856), pages 26 ff
8. ^ E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables(Macmillan, New York, 1913).
9. ^ Athenaeum, 15 June 1872. See also the Monthly Notices of the Royal Astronomical Society for May 1872.
10. ^ Jump up to:^a ^b English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., article "Prony."
11. ^ "this cannot be regarded as a great number, when it is considered that the table was the result of an original calculation, and that more than 2,100,000 printed figures are liable to error.", Athenaeum, 15 June 1872. See also Glaisher, in Monthly Notices of the Royal Astronomical Society for May 1872, pp255-262.
12. ^ "Cameron's Nautical Slide Rule", The Practical Mechanic and Engineer's Magazine, April 1845, p187 and Plate XX-B
13. ^ The Polyphase Duplex Slide Rule, A Self-Teaching Manual, Breckenridge, 1922, p. 20.

Originalni izvori

Henry Briggs (1624) Arithmetica Logarithmica
Grégoire de Saint-Vincent (1647) Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni
Christiaan Huygens (1651) Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, in Oeuvres Complètes, Tome XI, link from Internet Archive.
Patavii (1667) Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura
William Brouncker (1667) The Squaring of the Hyperbola, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, abridged edition 1809, v. i, pp 233–6, link form Biodiversity Heritage Library.
James Gregory (1668) Exercitationes Geometricae, Geometria pars vniversalis (Universal part of geometry), link from Andrew Leahy translation at Knox College.
Nicholas Mercator (1668) Logarithmitechnia, London

Spoljašnje veze

Rafael Villareal-Calderon (2008) Chopping Logs: A Look at the History and Uses of Logs, The Montana Mathematical Enthusiast 5(2,3): 237 to 44, link from University of Montana
Kathleen M. Clark & Clemency Montelle (January 2011) Logarithms: the Early History of a Familiar Function,Convergence, link from Mathematical Association of America

Korisnik:SD2514/pesak