Rikatijeva jednačina

Rikatijeva jednačina je diferencijalna jednačina oblika:

$y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2}$,

gde su $P(x)\neq 0$ i $R(x)\neq 0$. U slučaju $P(x)=0$ jednaka je Bernulijevoj jednačini. Dobila je ime po italijanskom matematičaru Jakopu Rikatiju.

Redukcija na linearnu jednačinu drugoga reda

Nelinearna Rikatijeva jednačina:

$y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!$

može da se redukuje na linearnu diferencijalnu jednačinu drugoga reda, pa se onda rešavanjem te jednačine može da se reši i Rikatijeva jednačina. U slučaju da $q_{2}$ nije jednak nuli tada se supstitucijom $v=yq_{2}$ od Rikatijeve jednačine dobija:

$v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!$.

Ako tu označimo $S=q_{2}q_{0}$ i $R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)$ onda Rikatijeva jednačina postaje oblika:

$v'=v^{2}+R(x)v+S(x).\!$

Uvedemo li supstituciju $v=-u'/u$ onda sledi:

$v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!$ i odatle:

$u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!$

odnosno dobija se diferencijalna jednačina za $u$:

$u''-R(x)u'+S(x)u=0\!$

Rešavanje integracijom

Znamo li jedno od parcijalnih rešenja $y_{1}$ Rikatijeve jednačine tada se opšte rešenje može predstaviti kao:

$y=y_{1}+u$

Supstitucijom toga rešenja u Rikatijevoj jednačini dobijamo:

$y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},$

i onda:

$y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2}$

$u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}$

tj. dobija se Bernulijeva diferencijalna jednačina:

$u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},$.

Bernulijevu jednačinu rešavamo supstitucijom

$z={\frac {1}{u}}$ tj.

$y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$

pa se od Rikatijeve jednačine dobija linearna jednačina:

$z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}$

Literatura

• Rikatijeva jednačina
• Hille, Einar (1997) [1976], Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0