Simpsonovo pravilo

Simpsonovo pravilo nazvano tako po Tomasu Simpsonu je metoda iz numeričke analize kojom približno izračunavamo određen integral neke funkcije f(x), tj. interesuje nas aproksimacija $\int _{a}^{b}f(x)dx$.

Funkciju f(x) (plava) aproksimiramo uz pomoć kvadratne funkcije P(x) (crvena).

Ideja

Simpsonova formula (ili pravilo) je u stvari deo Njutn-Kouts formula. Funkciju prvo aproksimiramo uz pomoć Lagranžovih polinoma drugog stepena, a posle umesto da izračunamo integral funkcije $f(x)$, izračunavamo integral dobijenog polinoma:

$f(x)\approx P(x)=\sum _{i=0}^{n=2}l_{i}(x)\cdot f(x_{i})$, pritom

$l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$

Označimo početnu tačku integrala $a=x_{0}$, krajnju $b=x_{2}$, a tačku u sredini $m=x_{1}$ (obratiti pažnju na skicu sa strane) i dobićemo:

$P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}\approx f(x)$

Ovom prilikom nije prikazano kako se dolazi do konačne formule; račun nije težak i sastoji se od primene jednostavnih pravila za integrale (na primer, primena integrala na sumu):

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$

Kada se želi aproksimirati integral u intervalu od $a$ do $b$ tada će za to biti neophodne tri tačke date funkcije.

Greška u datom intervalu je:

$E_{S}=-{\frac {(b-a)^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$, gde je $\xi \in [a,b]$.

Ukoliko želimo da nađemo najveću moguću grešku odnosno njenu granicu, dovoljno je maksimirati četvrti izvod funkcije za $\xi$:

$\left|E_{S}\right|\leq {\frac {(b-a)^{5}}{90}}\left|\max _{a\leq \xi \leq b}f^{(4)}(\xi )\right|$

Obzirom da greška zavisi od razmaka između tačaka kojima se vrši aproksimacija, a ako se označi taj razmak sa $h={\frac {b-a}{2}}$, može se reći, koristeći se O-notacijom da se greška nalazi $E_{S}={\mathcal {O}}(h^{5})$.

Složeno Simpsonovo pravilo

Ukoliko smo nezadovoljni aproksimacijom, jedan od načina za poboljšanje je da interval podelimo na više delova (manjih intervala) te da na svakom pojedinačno primenimo Simpsonovo pravilo i na kraju ih saberemo.

Označimo broj tačaka sa $n$, a razmak između njih sa $h={\frac {b-a}{n}}$ i dobićemo:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]}$,

što takođe možemo napisati kao

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+...+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}$

ili kao proizvod vektora ($f=(f(x_{0}),f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})$ ):

$f\cdot (1,4,2,4,2,\dots ,2,4,1)^{T}$.

Greška za složeno Simpsonovo pravilo je:

$E_{S}=-{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi )$, $\xi \in [a,b]$

ili kada želimo da joj nađemo granicu:

$\left|E_{S}\right|\leq {\frac {h^{4}}{180}}(b-a)\left|\max _{a\leq \xi \leq b}f^{(4)}(\xi )\right|$

Takođe, kao što vidimo, formulu za Simpsonovo pravilo možemo izvesti i iz kombinacije trapezoidnog pravila i pravila pravougaonika ($Q_{S}(f)$ označava aproksimaciju integrala funkcije $f$ između datih $a$ i $b$, $Q_{T}(f)$ to isto za trapezoidno pravilo, a $Q_{R}(f)$ za pravilo pravougaonika):

$Q(f)={1 \over 3}(Q_{S}(f)+2Q_{T}(f))$

Adaptivno Simpsonovo pravilo

U praksi se ponekad susrećemo sa situacijama kada je neka funkcija u određenim oblastima „dosadna“ i čije integrale možemo da izračunamo vrlo lako sa malo tačaka (kada je funkcija relativno „ispeglana"), dok je u određenim oblastima vrlo promenljiva i tu nam za dobru aproksimaciju treba mnogo više tačaka.

Da bismo to postigli, koristićemo se taktikom "podeli pa vladaj":

1. Izračunaj središnu tačku datog intervala $[a,b]$: $m={\frac {b-a}{2}}$
2. Izračunaj aproksimaciju integrala za $[a,b]$ koristeći se Simpsonovim pravilom (nazovimo je $S_{[a,b]}$
3. Izračunaj aproksimacije za podeljen interval (označimo je $S_{[a,m]}$ i $S_{[m,b]}$) uz pomoć običnog Simpsonovog pravila.
4. Ukoliko smo zadovoljni razlikom $S_{[a,b]}-(S_{[a,m]}+S_{[m,b]})$, rezultat je $S_{[a,m]}+S_{[m,b]}$.
5. Ukoliko nismo, nastavimo dalje rekurzivno primenjujući adaptivno Simpsonovo pravilo na intervale $[a,m]$ i $[m,b]$, a rezultat je njihova suma.

Greška adaptivnog Simpsonovog pravila

Obeležimo rezultat adaptivnog Simpsonovog pravila primenjenog na intervalu $[a,b]\,$ za funkciju $f\,$ sa $S(a,b)\,$, a razmak između dveju tačaka sa $h={\frac {b-a}{2}}\,$ onda važi:

Za $h\,$: $\int _{a}^{b}f(x)dx=S(a,b)-{\frac {h^{5}}{90}}\cdot f^{(4)}(\xi )-{\mathcal {O}}(h^{7})$

Za ${\frac {h}{2}}$: $\int _{a}^{b}f(x)dx=S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)+S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)-\underbrace {2\cdot {\frac {(h/2)^{5}}{90}}} _{-{\frac {1}{16}}{\frac {h^{5}}{90}}}\cdot f^{(4)}({\tilde {\xi }})-{\mathcal {O}}(h^{7})$

Iz toga dalje zaključujemo, pod pretpostavkom $f^{(4)}(\xi )=f^{(4)}({\tilde {\xi }})$:

$S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)+S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)-{\frac {1}{16}}\left({\frac {h^{5}}{90}}\right)f^{(4)}(\xi )\approx S(a,b)-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$

$\Rightarrow {\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )\approx {\frac {16}{15}}\left(S(a,b)-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right)$

Tako možemo dalje doći do (razumno) približne vrednosti greške:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)dx-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right|\approx {\frac {1}{15}}\left|S(a,b)-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right|$

Ova približna greška je vrlo zgodna kao kriterijum za kraj rekurzije.

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Simpson formula”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Simpson's Rule”. MathWorld. 
• Application of Simpson's Rule — Earthwork Excavation (Note: The formula described in this page is correct but there are errors in the calculation which should give a result of 569m3 and not 623m3 as stated)
• Simpson's 1/3rd rule of integration — Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple at Numerical Methods for STEM undergraduate
• A detailed description of a computer implementation is described by Dorai Sitaram in Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C