Slobodan pad

Za druge upotrebe pogledajte stranicu Slobodan pad (film iz 1985).

U klasičnoj mehanici, slobodan pad je svako kretanje tela pod delovanjem sile teže, bez početne brzine, gdje je ubrzanje koje telu saopštava sila teže, jedino ubrzanje koje djeluje na to telo. Ostale sile kao što je sila otpora sredine se zanemaruje. Prema drugom Njutnovom zakonu, pošto na telo deluje samo sila teže važi sledeća relacija:

Slobodan pad jabuke

Komandant Dejvid Skot sprovodi demonstraciju slobodnog pada tokom misije slijetanja na mjesec

$m*{\vec {a}}=m{\vec {g}}$

Ubrzanje koje telo ima tokom slobodnog pada jednako je ubrzanju sile zemljine teže:

${\vec {a}}={\vec {g}}$

Ubrzanje sile Zemljine teže zavisi od geografske širine i nadmorske visine na kojoj se telo nalazi, na geografskoj širini 45° na nivou mora iznosi 9.81 m/s².

Dok telo slobodno pada ono se kreće ravnomerno ubrzano, tako da se njegova brzina sa vremenom povećava sve dok ne udari u Zemlju.

Objekt u tehničkom smislu termina „slobodni pad” ne mora nužno da pada u uobičajenom smislu te riječi. Objekt koji se kreće prema gore ne bi padao, ali ako je podložan samo gravitacionoj sili, kaže se da je u slobodnom padu. Mjesec je, dakle, u slobodnom padu.

U grubo ravnomjernom gravitacionom polju, u nedostatku bilo koje druge sile, gravitacija djeluje na svaki dio tijela otprilike jednako, što rezultira osjećajem bestežinskog stanja, stanja koje se javlja i kada je gravitaciono polje slabo (kao, na primjer, kada je daleko od bilo kojeg izvora gravitacije).

Izraz „slobodan pad” često se koristi slobodnije nego u strogom smislu koji je iznad definisan. Stoga se pad kroz atmosferu, bez padobrana ili uređaja za podizanje, često naziva slobodnim padom. Aerodinamičke sile vučenja u takvim situacijama sprečavaju ih da proizvedu puno bestežinsko stanje, pa tako „slobodni pad” padobranca, nakon postizanja terminalne brzine, proizvodi osjećaj da je težina tijela podržana uloškom vazduha.

Istorija

U zapadnom svetu pre 16. veka, generalno se pretpostavljalo da će brzina padajućeg tela biti proporcionalna njegovoj težini – to jest, očekivalo se da će objekat od 10 kg pasti deset puta brže od inače identičnog objekta od 1 kg kroz isti medijum. Drevni grčki filozof Aristotel (384–322 pne) raspravljao je o objektima koji padaju u Fizici (Knjiga VII), jednoj od najstarijih knjiga o mehanici (vidi Aristotelovska fizika). Iako je u 6. veku Jovan Filopon osporio ovaj argument i rekao da će, posmatranjem, dve lopte veoma različite težine pasti skoro istom brzinom.

U Iraku u 12. veku, Abul-Barakat al-Bagdadi je dao objašnjenje za gravitaciono ubrzanje tela koja padaju. Prema Šlomu Pajnsu, al-Bagdadijeva teorija kretanja bila je „najstarija negacija Aristotelovog fundamentalnog zakona dinamike [naime, da konstantna sila proizvodi jednoliko kretanje], [i stoga je] anticipacija na neodređen način osnovnog zakona klasične mehanike [naime, da sila koja se primenjuje neprekidno proizvodi ubrzanje].“

Galilejev ogled

Sva tela koja padaju ka površini Zemlje imaju jednako ubrzanje. Ovu tvrdnju je prvi dokazao italijanski astronom, fizičar i matematičar, Galileo Galilej.

Prepostavlja se da je do svog otkrića Galilej došao puštajući tela različitih masa i oblika sa različitih visina i merio vremena za koja su ona padala na Zemlju. Došao je do zaključka da da sva tela puštena sa iste visine padaju na Zemlju za isto vreme, odnosno da imaju isto ubrzanje bez obzira na masu tela.

U vreme kada se Galilej bavio proučavanjem fizičkih pojava nije bio poznat pojam vakuuma, tako da nije sasvim najjasniji način na koji je došao do svojih zaključaka.

Njutnova cev

Da bi pokazao da sva tela koja slobodno padaju imaju isto ubrzanje, Isak Njutn je izveo ogled sa staklenom cevi dugačkom jedan metar, na čijem dnu su se nalazile metalna kuglica i pero.

Kada se cev ispunjena vazduhom naglo obrne, pero i kuglice slobodno padaju na drugi kraj cevi. Pošto je u cevi vazduh, metalna kuglica pada brže, zato što sila teže zavisi od mase a sila otpora sredine od veličine tela i njegovog oblika. Kada se iz cevi izvuče vazduh u njoj nastaje vakuum, pero i kuglica padaju istovremeno,tj. u istim vremenskim intervalima.

Primeri

Primeri objekata u slobodnom padu uključuju:

• Svemirska letelica (u svemiru) sa isključenim pogonom (npr. u neprekidnoj orbiti, ili na suborbitalnoj putanji (balistika) koja ide gore nekoliko minuta, a zatim dole).
• Predmet pao sa vrha cevi.
• Predmet bačen nagore ili osoba koja skače sa zemlje malom brzinom (tj. sve dok je otpor vazduha zanemarljiv u poređenju sa težinom).

Tehnički, objekat je u slobodnom padu čak i kada se kreće nagore ili trenutno miruje na vrhu svog kretanja. Ako je gravitacija jedini uticaj koji deluje, onda je ubrzanje uvek naniže i ima istu veličinu za sva tela, obično se označava $g$.

Pošto svi objekti padaju istom brzinom u odsustvu drugih sila, objekti i ljudi će u ovim situacijama doživeti bestežinsko stanje.

Primeri objekata koji nisu u slobodnom padu:

• Letenje u avionu: postoji i dodatna sila podizanja.
• Stojanje na zemlji: gravitacionoj sili se suprotstavlja normalna sila tla.
• Spuštanje na Zemlju pomoću padobrana, koji balansira silu gravitacije sa aerodinamičkom silom otpora (a kod nekih padobrana i dodatnom silom podizanja).

Primer padajućeg padobranca koji još nije aktivirao padobran se ne smatra slobodnim padom iz perspektive fizike, pošto on doživljava silu otpora koja je jednaka njihovoj težini kada postignu krajnju brzinu (vidi ispod).

Izmereno vreme pada male čelične kugle koja pada sa različitih visina. Podaci se dobro slažu sa predviđenim vremenom pada od ${\sqrt {2h/g}}$, gde je h visina, a g ubrzanje slobodnog pada usled gravitacije.

U blizini površine Zemlje, objekat u slobodnom padu u vakuumu će ubrzati približno 9,8 m/s², nezavisno od njegove mase. Sa otporom vazduha koji deluje na objekat koji pada, objekat će na kraju dostići krajnju brzinu, koja je oko 53 m/s (190 km/h ili 118 mph) za čoveka padobranca. Krajnja brzina zavisi od mnogih faktora uključujući masu, koeficijent otpora i relativnu površinu i biće postignuta samo ako je pad sa dovoljne visine. Tipičan padobranac u položaju raširenog orla će dostići krajnju brzinu nakon oko 12 sekundi, za koje vreme će pasti oko 450 m (1.500 stopa).

Slobodno padanje na Mesecu je demonstrirao astronaut Dejvid Skot 2. avgusta 1971. On je istovremeno pustio čekić i pero sa iste visine iznad površine Meseca. I čekić i pero su pali istom brzinom i udarili u površinu u isto vreme. Ovo je pokazalo Galilejevo otkriće da, u odsustvu otpora vazduha, svi objekti doživljavaju isto ubrzanje usled gravitacije. Na Mesecu je, međutim, gravitaciono ubrzanje približno 1,63 m/s², ili samo oko ¹⁄₆ onog Zemlji.

Slobodni pad u Njutnovoj mehanici

Glavni članak: Njutnovska mehanika

Jedinstveno gravitaciono polje bez otpora vazduha

Ovo je „udžbenički“ slučaj vertikalnog kretanja objekta koji pada na malu udaljenost blizu površine planete. To je dobra aproksimacija u vazduhu sve dok je sila gravitacije na objekat mnogo veća od sile otpora vazduha, ili ekvivalentno, brzina objekta je uvek mnogo manja od krajnje brzine (pogledajte ispod).

Slobodni pad

$v(t)=v_{0}-gt\,$

$y(t)=v_{0}t+y_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

gde je

$v_{0}\,$ inicijalna brzina (m/s).

$v(t)\,$ je vertikalna brzina u odnosu na vreme (m/s).

$y_{0}\,$ je početna visina (m).

$y(t)\,$ je visina u odnosu na vreme (m).

$t\,$ je proteklo vreme (s).

$g\,$ je ubrzanje usled gravitacije (9,81 m/s² blizu površine zemlje).

Ako je početna brzina nula, tada će rastojanje padanja od početne pozicije rasti kao kvadrat proteklog vremena. Štaviše, pošto se neparni brojevi zbrajaju u savršene kvadrate, rastojanje padanja u uzastopnim vremenskim intervalima raste kao neparni brojevi. Ovaj opis ponašanja tela koja padaju dao je Galilej.

Jedinstveno gravitaciono polje sa otporom vazduha

Ubrzanje malog meteora pri ulasku u Zemljinu atmosferu različitim početnim brzinama

Ovaj slučaj, koji se odnosi na padobrance ili bilo koje telo mase, $m$, i površinu poprečnog preseka, $A$, sa Rejnoldsovim brojem znatno iznad kritičnog Rejnoldsovog broja, tako da je otpor vazduha proporcionalan kvadratu brzine pada, $v$, ima jednačinu kretanja

$m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,$

gde je $\rho$ gustina vazduha i $C_{\mathrm {D} }$ je koeficijent otpora, za koji se pretpostavlja da je konstantan, iako će generalno zavisiti od Rejnoldsovog broja.

Pod pretpostavkom da objekat pada iz mirovanja i nema promene u gustini vazduha sa visinom, rešenje je:

$v(t)=v\tanh \left({\frac {gt}{v}}\right),$

gde je terminalna brzina data sa

$v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.$

Brzina objekta u odnosu na vreme se može integrisati tokom vremena da bi se pronašla vertikalna pozicija kao funkcija vremena:

$y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).$

Koristeći cifru od 56 m/s za krajnju brzinu čoveka, nalazi se da će posle 10 sekundi pasti 348 metara i dostići 94% krajnje brzine, a nakon 12 sekundi će pasti 455 metara i da će dostići 97% terminalne brzine. Međutim, kada se ne može pretpostaviti da je gustina vazduha konstantna, kao što je za objekte koji padaju sa velike visine, jednačinu kretanja je mnogo teže analitički rešiti i obično je neophodna numerička simulacija kretanja. Na slici su prikazane sile koje deluju na meteoroide koji padaju kroz gornju Zemljinu atmosferu. U ovu kategoriju spadaju i HALO skokovi, uključujući rekordne skokove Džoa Kitingera i Feliksa Baumgartnera.

Inverzno-kvadratni zakon gravitacionog polja

Može se reći da su dva objekta u prostoru, koji kruže jedan oko drugog u odsustvu drugih sila, u slobodnom padu jedan oko drugog, npr. da Mesec ili veštački satelit „pada oko“ Zemlje, ili planeta „pada oko“ Sunca. Pretpostavljanje sfernih objekata znači da je jednačina kretanja vođena Njutnovim zakonom univerzalne gravitacije, pri čemu su rešenja gravitacionog problema dva tela eliptičke orbite u skladu sa Keplerovim zakonima planetarnog kretanja. Ovu vezu između padajućih objekata blizu Zemlje i orbitalnih objekata najbolje ilustruje misaoni eksperiment, Njutnovo topovsko đule.

Kretanje dva objekta koji se radijalno kreću jedan prema drugom bez ugaonog momenta može se smatrati posebnim slučajem eliptične orbite ekscentriciteta e = 1 (radijalna eliptična putanja). Ovo omogućava da se izračuna vreme slobodnog pada za dva tačkasta objekta na radijalnoj putanji. Rešenje ove jednačine kretanja daje vreme kao funkciju razdvajanjem:

$t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),$

gde

$t$ je vreme nakon početka pada

$y$ je rastojanje između centara tela

$y_{0}$ je početna vrednost $y$

$\mu =G(m_{1}+m_{2})$ je standardni gravitacioni parametar.

Zamenom $y=0$ dobija se vreme slobodnog pada.

Razdvajanje kao funkcija vremena je dato inverznom jednačinom. Inverzni oblik je tačno predstavljen analitičkim stepenim redom:

$y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0}\left({\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\frac {7}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}})\right)^{-{\frac {2}{3}}n}\right]\right)\right].$

Procena ovoga daje:

$y(t)=y_{0}\left(x-{\frac {1}{5}}x^{2}-{\frac {3}{175}}x^{3}-{\frac {23}{7875}}x^{4}-{\frac {1894}{3031875}}x^{5}-{\frac {3293}{21896875}}x^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}x^{7}-\cdots \right)\ ,$

gde je

$x=\left[{\frac {3}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}-t{\sqrt {\frac {2\mu }{{y_{0}}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}.$

Vidi još

• Nulta gravitacija
• Ubrzanje (vazduhoplovna fiziologija)
• Mikrogravitacija

Literatura

• Chakrabarty, Deepto; Dourmashkin, Peter; Tomasik, Michelle; Frebel, Anna; Vuletic, Vladan (2016). „Classical Mechanics”. MIT OpenCourseWare. Pristupljeno 2022-01-17. 
• Thomson, W.; Tait, P. G. (1867). „242, Newton's laws of motion”. Treatise on natural philosophy. 1. 

Spoljašnje veze

• Freefall formula calculator
• The Way Things Fall an educational website