Funkcija raspodele

Funkcija raspodele, funkcija distribucije ili kumulativna raspodela verovatnoće je funkcija u teoriji verovatnoće u oznaci F_x koja za svaki realan broj x, određuje verovatnoću da je slučajna promenljiva X uzela vrednost manju od ili jednaku x:

$x\to F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x).$

Za označavanje funkcije raspodele obično se koristi veliko latinično slovo F, za razliku od malog latiničnog slova f, koje se koristi za raspodelu verovatnoće.

Kumulativna raspodela verovatnoće se može izraziti i preko raspodele verovatnoće f na sledeći način:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.$

Verovatnoća da X leži na intervalu (a, b] za a < b je jednaka F(b) − F(a).

Svojstva

Odozgo nadole, funkcija raspodele diskretne slučajne promenljive, neprekidne slučajne promenljive, i slučajne promenljive koja ima i neprekidne i diskretne delove.

Svaka funkcija raspodele, F ima sledeće osobine:

• monotono je neopadajuća
• neprekidna je zdesna
• $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$
• $\lim _{x\to +\infty }F(x)=1.$

Diskretne slučajne promenljive

Ako je X diskretna slučajna promenljiva koja uzima vrednosti x₁, x₂, ... sa verovatnoćama p_i = P(x_i), njena funkcija raspodele će imati prekide u tačkama x_i, i biti konstantna između njih:

$F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).$

Kontinualne slučajne promenljive

Ako je funkcija raspodele F, slučajne promenljive X, neprekidna, onda je X neprekidna slučajna promenljiva; ako je osim toga, F apsolutno neprekidna, onda postoji Lebeg-integrabilna funkcija f(x), takva da

$F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

za sve realne brojeve a i b. (Prva od gornje dve jednakosti ne bi bila tačna u opštem slučaju ako ne bi bilo naznačeno da je raspodela neprekidna. Neprekidnost raspodele implicira da je P(X = a) = P(X = b) = 0, pa razlika između < i ≤ u tom kontekstu nema značaja.) Funkcija f je jednaka izvodu od F skoro svuda, i naziva se raspodela verovatnoće za slučajnu promenljivu X.

Vidi još

• Raspodela verovatnoće