Čebiševljeva nejednakost suma

Čebiševljeva nejednakost suma nosi naziv prema ruskom matematičaru Pafnuti Čebiševu. Ako imamo dva opadajuća niza:

Pafnuti Lavovič Čebišev

$a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$

i

$b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$

onda vredi Čebiševljeva nejednakost

${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$

Isto tako ako je jedan niz rastući, a drugi opadajući:

$a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}$

i

$b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$

onda vredi

${1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).$

Dokaz

Pođimo od sume

$S=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}(a_{j}-a_{k})(b_{j}-b_{k}).$

Ako su dva niza opadajuća (odnosno nisu rastuća) onda a_j − a_k i b_j − b_k imaju isti predznak za bilo koji j, k. Zboga toga sledi da je S ≥ 0. Iz gornje jednačine i S ≥ 0 dobijamo:

$0\leq n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}+n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}-\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}\,\sum _{j=1}^{n}b_{j},$

Sabirajući iste članove dobijamo:

$0\leq 2n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}-2\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,\sum _{k=1}^{n}b_{k}.$

Konačno sledi:

${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,{\frac {1}{n}}\sum _{j=a}^{n}b_{k}.$

Generalizacija nejednakosti

Postoji generalizirana verzija Čebiševljeve nejednakosti u slučaju kontinuiranoga niza u vidu funkcije. Ako su f i g realne integrabilne funkcije na intervalu [0, 1] i ako su obe rastuće ili obe padajuće onda sledi:

$\int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \limits _{0}^{1}g(x)\,dx.\,$

Literatura

• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9