Švarcšildov poluprečnik

Švarcšildov poluprečnik ili Švarcšildov radijus je udaljenost od središta crne rupe na kojoj se nalazi horizont događaja. Pojam koriste fizičari, astronomi, posebno u vezi teorije gravitacije i opšte teorije relativiteta. Ime je dobio po nemačkom astrofizičaru Karlu Švarcšilldu, koji je 1917. godine pronašao rešenje Ajnštajnovih jednačina za statičnu sfernosimetričnu raspodelu mase. Numerički je približno Švarcšildov poluprečnik crne rupe mase M:

$R_{g}\approx 3km\times M/M_{Sunce}$

Ovo znači da je za Sunce 3 km, a za Zemlju 9 mm. U Slučaju rotirajuće crne rupe formula je malo različita. Ni jedna čestica ni svetlost ne mogu pobeći iznutra napolje. Švarcšildov poluprečnik za crnu rupu koja se nalazi u našem galaktičkom centru je 7,8 miliona km.

Švarcšildov poluprečnik lopte homogene gustine jednake kritičnoj gustini je jednaka poluprečniku vidljive vasione.

Formula Švarcšildovog poluprečnika

Švrcšildov poluprečnik je srazmeran masi, sa konstantom prorporcionalnosti koja uključuje gravitacionu konstantu i brzinu svetlosti. Sama formula se dobija kada se brzina svetlosti postavi kao brzina bežanja iz crne rupe, i dobije

r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}

gde je

r_{s}

Švarcšildov poluprečnik

G

gravitaciona konstanta, tj. 6.67 × 10^-11 N m² / kg²;

m masa svemirskog objekta, zvezde, galaksije; i

c² je kvadrat brzine svetlosti, što je (299,792,458 m/s)² = 8.98755 × 10¹⁶ m²/s².^[1]

Konstanta srazmere, $2G/c^{2}$ , je približno 1.48 × 10^-27 m / kg.

Ovo znači da se jednačina, konačno, može napisati kao

r_{s}=m\times 1.48\times 10^{-27}\,

gde je $r_{s}$ u metrima i $m$ u kilogramima.

Primetimo da, mada je rezultat ispravan, jedino opšta teorija relativiteta daje potpuno ispravan rezultat. Potpuna je slučajnost što se primenom klasične, Njutnovske fizike dobija isti rezultat.^[2]

Istorija

Godine 1916, Karl Švarcšild je dobio tačno rešenje^[3]^[4] Ajnštajnovih jednačina polja za gravitaciono polje izvan nerotirajućeg, sferno simetričnog tela sa masom $M$ (pogledajte Švarcšildova metrika). Rešenje je sadržalo termine oblika $1-{r_{s}}/r$ and ${\frac {1}{1-{r_{s}}/r}}$ , koji postaju singularni pri $r=0$ i $r=r_{s}$ respektivno. Veličina $r_{s}$ je postala poznat kao Švarcšildov radijus. O fizičkom značaju ovih singularnosti raspravljalo se decenijama. Utvrđeno je da je $r=r_{s}$ koordinatna singularnost, što znači da je artefakt određenog sistema koordinata koji su korišćeni; dok je onaj kod $r=0$ prostorno-vremenska singularnost i ne može se ukloniti.^[5] Švarcšildov poluprečnik je ipak fizički relevantna veličina, kao što je navedeno iznad i ispod.

Ovaj izraz je prethodno izračunat, koristeći Njutnovu mehaniku, kao poluprečnik sferno simetričnog tela pri kome je izlazna brzina jednaka brzini svetlosti. Identifikovali su ga u 18. veku Džon Mičel^[6] i Pjer-Simon Laplas.^[7]

Parameters

Švarcšildov poluprečnik objekta je proporcionalan njegovoj masi. Shodno tome, Sunce ima Švarcšildov radijus od približno 3,0 km (1,9 mi), dok je Zemljin samo oko 9 mm (0,35 in), a Mesečev oko 0,1 mm (0,0039 in). Masa vidljivog svemira ima Švarcšildov poluprečnik od približno 13,7 milijardi svetlosnih godina.^[8]

Objekat	Masa ${\textstyle M}$	Švarcšildov poluprečnik ${\textstyle {\frac {2GM}{c^{2}}}}$	Stvarni poluprečnik ${\textstyle r}$	Švarcšildov gustina ${\textstyle {\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}}$ ili ${\textstyle {\frac {3c^{2}}{8\pi Gr^{2}}}}$
Vidljivi svemir	8,8×10⁵² kg	1,3×10²⁶ m (13,7 milijarda ly)	4,4×10²⁶ m (46,5 milijarda ly)	9,5×10^-27 kg/m³
Mlečni put	1,6×10⁴² kg	2,4×10¹⁵ m (0,25 ly)	5×10²⁰ m (52,9 hiljada ly)	0,000029 kg/m³
TON 618 (najveća poznata crna rupa)	1,3×10⁴¹ kg	1,9×10¹⁴ m (~1300 AU)		0,0045 kg/m³
SMBH u NGC 4889	4,2×10⁴⁰ kg	6,2×10¹³ m (~410 AU)		0,042 kg/m³
SMBH u Messier 87^[9]	1,3×10⁴⁰ kg	1,9×10¹³ m (~130 AU)		0,44 kg/m³
SMBH u galaksiji Andromeda^[10]	3,4×10³⁸ kg	5,0×10¹¹ m (3,3 AU)		640 kg/m³
Sagittarius A* (SMBH u Mlečnom putu)^[11]	8,262×10³⁶ kg	1,227×10¹⁰ m (0,08 AU)		1,0678×10⁶ kg/m³
SMBH u NGC 4395^[12]	7,1568 × ×10³⁵ kg	1,062×10⁹m (1,53 R☀️)		1,4230×10⁸ kg/m³
Potencijalna crna rupa srednje veličine u HCN-0.009-0.044^[13]	6,3616 × ×10³⁴ kg	9,44×10⁸ m (14,8 R_🜨)		1,8011×10¹⁰ kg/m³
Rezultirajuća srednja crna rupa od GW190521 spajanja^[14]	2,823×10³² kg	4,189×10⁵ m (0,066 R_🜨)		9,125×10¹⁴ kg/m³
Sunce	1,99×10³⁰ kg	2,95×10³ m	7,0×10⁸ m	1,84×10¹⁹ kg/m³
Jupiter	1,90×10²⁷ kg	2,82 m	7,0×10⁷ m	2,02×10²⁵ kg/m³
Zemlja	5,97×10²⁴ kg	8,87×10^-3 m	6,37×10⁶ m	2,04×10³⁰ kg/m³
Mesec	7,35×10²² kg	1,09×10^-4 m	1,74×10⁶ m	1,35×10³⁴ kg/m³
Saturn	5,683×10²⁶ kg	8,42×10^-1 m	6,03×10⁷ m	2,27×10²⁶ kg/m³
Uran	8,681×10²⁵ kg	1,29×10^-1 m	2,56×10⁷ m	9,68×10²⁷ kg/m³
Neptun	1,024×10²⁶ kg	1,52×10^-1 m	2,47×10⁷ m	6,97×10²⁷ kg/m³
Merkur	3,285×10²³ kg	4,87×10^-4 m	2,44×10⁶ m	6,79×10³² kg/m³
Venera	4,867×10²⁴ kg	7,21×10^-3 m	6,05×10⁶ m	3,10×10³⁰ kg/m³
Mars	6,39×10²³ kg	9,47×10^-4 m	3,39×10⁶ m	1,80×10³² kg/m³
Čovek	70 kg	1,04×10^-25 m	~5×10^-1 m	1,49×10⁷⁶ kg/m³
Plankova masa	2,18×10^-8 kg	3,23×10^-35 m	(dve Plankove dužine)	1,54×10⁹⁵ kg/m³

Vidi još

Reference

^ Kutner, Marc (2003). Astronomy: A Physical Perspective . Cambridge University Press. str. 148. ISBN 9780521529273.
^ Guidry, Mike (2019-01-03). Modern General Relativity: Black Holes, Gravitational Waves, and Cosmology (na jeziku: engleski). Cambridge University Press. str. 92. ISBN 978-1-107-19789-3.
^ K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 189.
^ K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 424.
^ Wald, Robert (1984). General Relativity . The University of Chicago Press. str. 152–153. ISBN 978-0-226-87033-5.
^ Schaffer, Simon (1979). „John Michell and Black Holes”. Journal for the History of Astronomy. 10: 42—43. Bibcode:1979JHA....10...42S. S2CID 123958527. doi:10.1177/002182867901000104. Pristupljeno 4. 6. 2018. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Colin Montgomery, Wayne Orchiston and Ian Whittingham, "Michell, Laplace and the origin of the Black Hole Concept" Arhivirano na sajtu Wayback Machine (2. maj 2014), Journal of Astronomical History and Heritage, 12(2), 90–96 (2009).
^ Deza, Michel Marie; Deza, Elena (28. 10. 2012). Encyclopedia of Distances (2nd izd.). Heidelberg: Springer Science & Business Media. str. 452. ISBN 978-3-642-30958-8. doi:10.1007/978-3-642-30958-8. Pristupljeno 8. 12. 2014. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Event Horizon Telescope Collaboration (2019). „First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole”. Astrophysical Journal Letters. 875 (1): L1. Bibcode:2019ApJ...875L...1E. arXiv:1906.11238  . doi:10.3847/2041-8213/AB0EC7  . 6,5(7) × 10⁹ M_☉ = 1,29(14)×10⁴⁰ kg.
^ Bender, Ralf; Kormendy, John; Bower, Gary; et al. (2005). „HST STIS Spectroscopy of the Triple Nucleus of M31: Two Nested Disks in Keplerian Rotation around a Supermassive Black Hole”. Astrophysical Journal. 631 (1): 280—300. Bibcode:2005ApJ...631..280B. S2CID 53415285. arXiv:astro-ph/0509839  . doi:10.1086/432434. 1,7(6) × 10⁸ M_☉ = 0,34(12)×10³⁹ kg.
^ Ghez, A. M.; et al. (decembar 2008). „Measuring Distance and Properties of the Milky Way's Central Supermassive Black Hole with Stellar Orbits”. Astrophysical Journal. 689 (2): 1044—1062. Bibcode:2008ApJ...689.1044G. S2CID 18335611. arXiv:0808.2870  . doi:10.1086/592738. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Peterson, Bradley M.; Bentz, Misty C.; Desroches, Louis-Benoit; Filippenko, Alexei V.; Ho, Luis C.; Kaspi, Shai; Laor, Ari; Maoz, Dan; Moran, Edward C.; Pogge, Richard W.; Quillen, Alice C. (2005-10-20). „Multiwavelength Monitoring of the Dwarf Seyfert 1 Galaxy NGC 4395. I. A Reverberation-Based Measurement of the Black Hole Mass”. The Astrophysical Journal. 632 (2): 799—808. Bibcode:2005ApJ...632..799P. ISSN 0004-637X. S2CID 13886279. arXiv:astro-ph/0506665  . doi:10.1086/444494. hdl:1811/48314.
^ Sciences, National Institutes of Natural. „Hiding black hole found”. phys.org (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2022-06-15.
^ Abbott, R.; Abbott, T. D.; Abraham, S.; Acernese, F.; Ackley, K.; Adams, C.; Adhikari, R. X.; Adya, V. B.; Affeldt, C.; Agathos, M.; Agatsuma, K. (2020-09-02). „Properties and Astrophysical Implications of the 150 M _⊙ Binary Black Hole Merger GW190521”. The Astrophysical Journal (na jeziku: engleski). 900 (1): L13. Bibcode:2020ApJ...900L..13A. ISSN 2041-8213. S2CID 221447444. arXiv:2009.01190  . doi:10.3847/2041-8213/aba493.

Literatura

Schwarzschild, K. (1916). „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie”. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 7: 189—196. Bibcode:1916AbhKP1916..189S.

Text of the original paper, in Wikisource
Translation: Antoci, S.; Loinger, A. (1999). „On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory”. arXiv:physics/9905030  .
A commentary on the paper, giving a simpler derivation: Bel, L. (2007). „Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie”. arXiv:0709.2257  [gr-qc].

Schwarzschild, K. (1916). „Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit”. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1: 424.

Text of the original paper, in Wikisource
Translation: Antoci, S. (1999). „On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory”. arXiv:physics/9912033  .

Flamm, L. (1916). „Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie”. Physikalische Zeitschrift. 17: 448.
Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1975). Introduction to General Relativity (2nd izd.). McGraw-Hill. Chapter 6. ISBN 0-07-000423-4.
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1951). The Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics. 2 (4th Revised English izd.). Pergamon Press. Chapter 12. ISBN 0-08-025072-6.
Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1970). Gravitation. W.H. Freeman. Chapters 31 and 32. ISBN 0-7167-0344-0.
Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity . John Wiley & Sons. Chapter 8. ISBN 0-471-92567-5.
Taylor, E. F.; Wheeler, J. A. (2000). Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity. Addison-Wesley. ISBN 0-201-38423-X.
Heinzle, J. M.; Steinbauer, R. (2002). „Remarks on the distributional Schwarzschild geometry”. Journal of Mathematical Physics. 43 (3): 1493—1508. Bibcode:2002JMP....43.1493H. S2CID 119677857. arXiv:gr-qc/0112047  . doi:10.1063/1.1448684.

Dodatna literatura

Janssen, Michel; Renn, Jürgen (2015). „Arch and scaffold: How Einstein found his field equations”. Physics Today. 68 (11): 30—36. Bibcode:2015PhT....68k..30J. doi:10.1063/PT.3.2979. hdl:11858/00-001M-0000-002A-8ED7-1.

Spoljašnje veze

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Einstein equations”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger. Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

[1] Kutner, Marc (2003). Astronomy: A Physical Perspective . Cambridge University Press. str. 148. ISBN 9780521529273.

[2] Guidry, Mike (2019-01-03). Modern General Relativity: Black Holes, Gravitational Waves, and Cosmology (na jeziku: engleski). Cambridge University Press. str. 92. ISBN 978-1-107-19789-3.

[3] K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 189.

[4] K. Schwarzschild, "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik (1916) pp 424.

[5] Wald, Robert (1984). General Relativity . The University of Chicago Press. str. 152–153. ISBN 978-0-226-87033-5.

[Schaffer-6] Schaffer, Simon (1979). „John Michell and Black Holes”. Journal for the History of Astronomy. 10: 42—43. Bibcode:1979JHA....10...42S. S2CID 123958527. doi:10.1177/002182867901000104. Pristupljeno 4. 6. 2018. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[7] Colin Montgomery, Wayne Orchiston and Ian Whittingham, "Michell, Laplace and the origin of the Black Hole Concept" Arhivirano na sajtu Wayback Machine (2. maj 2014), Journal of Astronomical History and Heritage, 12(2), 90–96 (2009).

[8] Deza, Michel Marie; Deza, Elena (28. 10. 2012). Encyclopedia of Distances (2nd izd.). Heidelberg: Springer Science & Business Media. str. 452. ISBN 978-3-642-30958-8. doi:10.1007/978-3-642-30958-8. Pristupljeno 8. 12. 2014. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[Event_Horizon_Telescope_Collaboration_et_al._2019-9] Event Horizon Telescope Collaboration (2019). „First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole”. Astrophysical Journal Letters. 875 (1): L1. Bibcode:2019ApJ...875L...1E. arXiv:1906.11238  . doi:10.3847/2041-8213/AB0EC7  . 6,5(7) × 10⁹ M_☉ = 1,29(14)×10⁴⁰ kg.

[Bender_et_al_2005-10] Bender, Ralf; Kormendy, John; Bower, Gary; et al. (2005). „HST STIS Spectroscopy of the Triple Nucleus of M31: Two Nested Disks in Keplerian Rotation around a Supermassive Black Hole”. Astrophysical Journal. 631 (1): 280—300. Bibcode:2005ApJ...631..280B. S2CID 53415285. arXiv:astro-ph/0509839  . doi:10.1086/432434. 1,7(6) × 10⁸ M_☉ = 0,34(12)×10³⁹ kg.

[Ghez08-11] Ghez, A. M.; et al. (decembar 2008). „Measuring Distance and Properties of the Milky Way's Central Supermassive Black Hole with Stellar Orbits”. Astrophysical Journal. 689 (2): 1044—1062. Bibcode:2008ApJ...689.1044G. S2CID 18335611. arXiv:0808.2870  . doi:10.1086/592738. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[12] Peterson, Bradley M.; Bentz, Misty C.; Desroches, Louis-Benoit; Filippenko, Alexei V.; Ho, Luis C.; Kaspi, Shai; Laor, Ari; Maoz, Dan; Moran, Edward C.; Pogge, Richard W.; Quillen, Alice C. (2005-10-20). „Multiwavelength Monitoring of the Dwarf Seyfert 1 Galaxy NGC 4395. I. A Reverberation-Based Measurement of the Black Hole Mass”. The Astrophysical Journal. 632 (2): 799—808. Bibcode:2005ApJ...632..799P. ISSN 0004-637X. S2CID 13886279. arXiv:astro-ph/0506665  . doi:10.1086/444494. hdl:1811/48314.

[13] Sciences, National Institutes of Natural. „Hiding black hole found”. phys.org (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2022-06-15.

[14] Abbott, R.; Abbott, T. D.; Abraham, S.; Acernese, F.; Ackley, K.; Adams, C.; Adhikari, R. X.; Adya, V. B.; Affeldt, C.; Agathos, M.; Agatsuma, K. (2020-09-02). „Properties and Astrophysical Implications of the 150 M _⊙ Binary Black Hole Merger GW190521”. The Astrophysical Journal (na jeziku: engleski). 900 (1): L13. Bibcode:2020ApJ...900L..13A. ISSN 2041-8213. S2CID 221447444. arXiv:2009.01190  . doi:10.3847/2041-8213/aba493.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]