1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

U matematici, beskonačni niz 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · je elementarni primer geometrijskog niza koji konvergira apsolutno.

Prvih šest sabiraka izvučenih kao delovi kvadrata.

Geometrijski niz kao prava linija.

Njegov zbir je

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.$

Direktan dokaz

Kao i kod svakog beskonačnog niza, beskonačni zbir

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$

je definisan da znači ograničenje zbira prvih n izraza

$s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

kako se n približava beskonačnosti. Množenjem s_n 2 otkriva koristan odnos:

$2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}.$

Oduzimanjem s_n sa obe strane,

$s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.$

Kako n teži beskonačnosti, s_n teži 1.

Istorija

Ovaj niz je korišćen kao predstavljanje jednog od Zenonovih paradoksa. Delovi Udžat oka jednom su mislili da predstavljaju prvih šest sabiraka niza.

Vidi još

• 0.999...
• Tačkasta napomena