1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

U matematici, beskonačni niz 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · je jednostavan primer naizmeničnog niza koji konvergira apsolutno.

„Halfminusquarter“. Pod licencom CC BY 3.0 sa sajta Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/File:Halfminusquarter.png#/media/File:Halfminusquarter.png

To je geometrijski niz čiji je prvi termin 1/2 i čiji je količnik -1/2, tako da mu je zbir

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.$

Hakenbuš i sureals

Demonstracija  2/3 igrom nula-vrednosti

Blago preuređenje niza čita

$1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{3}}.$

Serija ima oblik pozitivnog celog broja, plus niz koji sadrži sve negativne snage dva sa bilo pozitivnim ili negativnim predznakom, tako da može da se prevede u beskrajni plavo-crveni Hakenbuš string koji predstavlja nadrealni broj 1/3:

LRRLRLR… = 1/3.

Nešto jednostavniji Hakenbušev niz eliminiše ponavljanje R:

LRLRLRL… = 2/3.

Što se tiče Hakenbuševe igre strukture, ova jednačina znači da odbor prikazan na desnoj strani ima vrednost 0; koji god igrač pomera drugi ima dobitnu strategiju.

Povezani redovi

• Izjava da je 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · apsolutno konvergentan znači da je niz 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · konvergentan. U stvari, ovaj drugi red konvergira u 1, i dokazuje da je jedan od binarnih ekspanzija 1 0.111 ....
• Uparivanje do uslova niza 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 · · · rezultira u drugom geometrijskom nizu sa istom sumom, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1 / 256 · · ·. Ovaj niz je jedan od prvih koji se sumira u istoriji matematike; korišćen je od strane Arhimeda u 250-200 p. n. e.
• Euler transformacija divergentnog niza 1 - 2 + 4 - 8 + · · · je 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 · · · . Stoga, iako prošli niz nema sumu u uobičajenom smislu, on je Euler sumiranje do 1/3.

Literatura

• Elwyn Berlekamp; John Horton Conway; Richard K. Guy (1982). Winning Ways for your Mathematical Plays. Academic Press. ISBN 978-0-12-091101-1. 
• Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 978-3-540-21058-0. 
• Shawyer, Bruce & Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. ISBN 978-0-19-853585-0.