Имагинарни број

Све степени од i претпостављају вредности из плаве области

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

i је 4. корен јединице

У математици, имагинарни број је комплексни број чији је квадрат негативан реалан број. Имагинарни бројеви имају облик $bi$, гдје је $b$ реалан број различит од нуле и $i$ имагинарна јединица за коју важи: $i^{2}=-1$. Квадрат имагинарног броја bi је −b². На пример, 5i је имагинарни број, а његов квадрат је −25. По дефиницији, нула се сматра и реалном и имагинарном.

Првобитно скован у 17. веку од стране Ренеа Декарта у дерогативном конетексту и сматран измишљеним или бескорисним, овај концепт је стекао широку прихваћеност након радова Леонхарда Ојлера (у 18. веку) и Огистена Луја Кошија и Карла Фридриха Гауса (почетком 19. века).

Имагинарни број $bi$ може бити додат уз реалан број, формирајући тако комплексни број $z$ облика $z=a+bi$, код којег је $a$ „реалан део“, а $bi$ је „имагинарни део“. Имагинарни бројеви се дакле могу сматрати као комплексни бројеви код којих је „реалан део“ нула.

Историја

Илустрација комплексне равни. Имагинарни бројеви су на вертикалној координатној оси.

Грчки математичар Херон из Александрије наводи се као први који је приметио имагинарне бројеве. Рафаел Бомбели је 1572. године дефинисао скуп ових бројева и основне операције са њима. У то време, имагинарне бројеве су појединци сматрали као фиктивне и беспотребне. Многи други математичари су били спори у томе да прихвате употребу имагинарних бројева, као што је био Рене Декарт који је погрдно писао о њима у свом раду „Геометрија“. Декарт је био први који је употребио појам „имагинаран број“ 1637. године. Ова идеја није била широко прихваћена све до радова Леонарда Ојлера (1707-1783) и Карла Фридриха Гауса (1777-1855). Геометријску значајност комплексних бројева је први пронашао Каспар Весел (1745-1818).

Године 1843, Вилијам Роуан Хамилтон је проширио идеју осе имагинарних бројева у равни на четвородимензионални простор кватерниона имагинарија у коме су три димензије аналогне имагинарним бројевима у комплексном пољу.

Геометријска репрезентација

Комплексни конјугат

Ротација за 90 степени у комплексној равни

Геометријски гледано, имагинарни бројеви се налазе на вертикалној оси на комплексној равни. Код броја 0 на $x$-оси, може се нацртати $y$-оса са позитивним правцом нагоре. Позитивни имагинарни бројеви се повећавају према горе, док се негативни смањују према доле. Ова вертикална оса се често назива имагинарна оса и означава се као "$i\mathbb {R}$", "$\mathbb {I}$" или једноставно као "Im". and is denoted $i\mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} ,$ or ℑ.

У овој репрезентацији множење са -1 је једнако ротацији од 180 степени у односу на координатни почетак. Множење са $i$ је једнако ротацији од 90 степени у "позитивном" правцу (у правацу супротном правцу казаљке на сату). Једначина $i^{2}=-1$ се интрепретира као две ротације од 90 степени у односу на координатни почетак, што је исти резултат као једна ротација од 180 степени. Треба запазити да ротација од 90 степени у негативном правцу (правцем казакље на сату) исто задовољава ову интерпретацију. Ово потврђује чињеницу да $-i$ такође решење једначине $x^{2}=-1$.

Множење комплексним бројем је исто као ротирање око координатног почетка помоћу аргумента комплексног броја, након чега следи скалирање по његовој магнитуди.

Степеновање имагинарне јединице

Степеновање имагинарног броја $i$ се кружно понавља. Ово се може видети у следећем примеру где $n$ представља било који број:

• $i^{4n}=1$,
• $i^{4n+1}=i$,
• $i^{4n+2}=-1$,
• $i^{4n+3}=-i.$,

Ово доводи до закључка да је $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$.

Квадратни корени негативних бројева

Неопходно је обратити пажњу када се ради са имагинарним бројевима који су изражени као главне вредности квадратног корена негативних бројева:

$6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.$

То се понекад пише као:

$-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.$

Заблуда се јавља као једнакост ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ није остварива када променљиве нису на одговарајући начин ограничене. У том случају, једнакост не важи јер су оба броја негативна, што се може показати на следећи начин:

${\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},$

где су x и y позитивни реални бројеви.

Види још

• Имагинарна јединица
• Комплексни број

Литература

• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Apostol, Tom (1981). Mathematical analysis. Addison-Wesley. 
• Argand (1814). „Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise” [Reflections on the new theory of complex numbers, followed by an application to the proof of a theorem of analysis]. Annales de mathématiques pures et appliquées (на језику: француски). 5: 197—209. 
• Gauss, C. F. (1831). „Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.” [Theory of biquadratic residues. Second memoir.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (на језику: латински). 7: 89—148. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4. 
• Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7. 
• Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1. 
• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. 
• Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6. 
• Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6. 
• Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4. 
• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). „Section 5.5 Complex Arithmetic”. Numerical Recipes: The art of scientific computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивирано из оригинала 13. 03. 2020. г. Приступљено 11. 07. 2022. 
• Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Bourbaki, Nicolas (1998). „Foundations of mathematics § logic: set theory”. Elements of the history of mathematics. Springer. 
• Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd изд.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9. 
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2. 
• Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1.  — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
• Ebbinghaus, H. D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2.  — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Спољашње везе

• How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
• 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
• Why Use Imaginary Numbers? Архивирано на сајту Wayback Machine (25. август 2019) Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers