Лијувилова теорема (комплексна анализа)

Лијувилова теорема је теорема из области комплексне анализе. Она гласи: ако је функција $f$ холоморфна над цијелим скупом комплексних бројева ($f\in H(\mathbb {C} )$ и ограничена, тада је она идентички константа, тј. $f\equiv const$.

Доказ

Нека је $K_{R}=\{z||z-0|<R\}$ круг са полупречником $R$ и центром у нули. Како је функција холоморфна у $\mathbb {C}$, она је холоморфна и унутар $K_{R}$, па можемо да је развијемо у Тејлоров ред:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-0)^{n},\forall z\in K_{R}$

$a_{n}={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{|\xi -0|=R}{\frac {f(\xi )}{(\xi -0)^{n+1}}}$

Како је $f$ ограничена, онда постоји $M>0$ тако да је $|f(z)|\leq M,\forall z\in \mathbb {C}$. Зато важе Кошијеве неједнакости:

$|a_{n}|\leq {\frac {M}{R^{n}}}$.

Одатле:

$n\neq 0:{\frac {M}{R^{n}}}\rightarrow 0,R\rightarrow \infty \Rightarrow |a_{n}|\rightarrow 0$. (пустили смо да $R\rightarrow \infty$ јер ће једначина бити иста за ма колико велико $R$).

$n=0:{\frac {M}{R^{n}}}={\frac {M}{R^{0}}}={\frac {M}{1}}=M\not \rightarrow 0$

Пошто су сви коефицијенти у Тејлоровом развоју једнаки нули, осим коефицијента $a_{0}$, слиједи да је:

$f(z)=a_{0}\Rightarrow f(z)\equiv const$.