Ајзенштајнов критеријум

У математици, Ајзенштајнов критеријум представља довољан услов да се каже да је неки полином нерастављив над скупом реалних бројева (или еквивалентно, над скупом целих бројева; види Гаусова лема).

Претпоставимо да имамо следећи полином са целобројним коефицијентима.

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.\,$

Претпоставимо да постоји прост број p, такав да

• p дели сваки a_i за i ≠ n
• p не дели a_n
• p² не дели a₀.

Тада је f(x) нерастављив.

Примери

Посматрајмо g(x) = 3x⁴ + 15x² + 10.

Тестирамо просте бројеве p: за p = 2, 2 не дели 15 а за p = 3, 3 не дели 10. Узимање p = 5 функционише, јер 5 дели 15, коефицијент од x, и 10, коефицијент уз x⁰. Такође, 5 не дели 3, водећи коефицијент. Коначно, 25 = 5² не дели 10. Значи, закључујемо да је g(x) нерастављив.

У неким случајевима није јасно који прост број да се узме, али се то може открити заменом променљиве y = x + a.

На пример, узмимо h(x) = x² + x + 2. Ово изгледа тешко, јер ниједан прост број не дели 1, коефицијент уз x. Али ако заменимо h(x) са h(x + 3) = x² + 7x + 14 видимо одмах да прост број 7 дели коефицијент уз x и коефицијент уз x⁰, и да 49 не дели 14. Тако смо увођењем смене задовољили Ајзенштајнов критеријум.